Vorwort

Ellipsen sind ein ebenso klassischer wie schöner Gegenstand der Mathematik. Traditionell tauchen sie in der Klassifikation der Kegelschnitte auf, die sich in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln einteilen lassen. Mathematisch erweisen sie sich als überraschend komplex. Ein Paradebeispiel ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse, die mit Hilfe der elementaren Funktionen nicht möglich ist. In der Physik spielen sie eine prominente Rolle in den Keplerschen Gesetzen und beim harmonischen Oszillator. Dies alles steht im Kontrast dazu, dass Ellipsen aus den Lehrplänen fast vollständig verschwunden sind.

 Wir verfolgen hier den Ansatz, Ellipsen mit Hilfe von Matrizen zu definieren und zu untersuchen. Kegelschnitte und zugehörige algebraische Gleichungen zweiten Grades in zwei Variablen werden nicht vorausgesetzt, sondern mit entwickelt. Dabei setzen wir nur wenige Grundlagen der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie der reellen Euklidischen Ebene voraus. Den grundlegenden Satz, dass eine Matrix einen Kreis in eine Ellipse transformiert, zeigen wir mit verschiedenen Methoden ohne Verwendung der Eigenwerttheorie. Damit ergibt sich ein Zugang zur Singulärwertzerlegung und zum Spektralsatz, der durch die konsequente Analyse einer einfachen geometrischen Fragestellung motiviert ist. Weiter enthält der Text eine Diskussion der Kegelschnitte und einen Ausblick auf Kurven dritten Grades. In einem Abschnitt über Ellipsen in der Physik betrachten wir den Harmonischen Oszillator und die Keplerschen Gesetzte. Wir gewinnen explizite Bahngleichungen für Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln durch einen Lösungsansatz über nichtelementare Umkehrfunktionen.

München, im September 2023

Oliver Deiser