13. Vorlesung Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

1. Die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2

Satz (Irrationalität der Quadratwurzel aus 2)

$\sqrt{2}$ ist irrational, d. h. es gibt keine natürlichen Zahlen n, m mit (n/m)² = 2.

Beweis

Seien n, m  ∈  ℕ. Wir betrachten die Primfaktorzerlegungen von n und m und schreiben

n	= 2^a₁ · 3^a₂ · 5^a₃ · …
m	= 2^b₁ · 3^b₂ · 5^b₃ · …

mit Exponenten a_k, b_k ≥ 0. Nach den Potenzregeln gilt

n²	= 2^2 a₁ · 3^2 a₂ · 5^2 a₃ · …
2 m²	= 2^{2 b₁ + 1} · 3^2 b₂ · 5^2 b₃ · …

Dann sind die 2-Exponenten von n² und 2m² verschieden, da der erste der beiden Exponenten gerade, der zweite aber ungerade ist. Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist also n² ≠ 2m² und damit (n/m)² ≠ 2.

Korollar

Die Funktion f : ℚ → ℚ mit f (q) = q² − 2 für alle q  ∈  ℚ hat keine Nullstelle.

2. Obere und untere Schranken

Definition (obere und unter Schranke)

Seien X ⊆ ℝ und s  ∈  ℝ. Dann heißt s eine obere Schranke von X, in Zeichen X ≤ s, falls für alle x  ∈  X gilt, dass x ≤ s. Analog heißt s eine untere Schranke von X, in Zeichen s ≤ X, falls für alle x  ∈  X gilt, dass s ≤ x. Die Menge X heißt nach oben (unten) beschränkt, falls eine obere (untere Schranke) von X existiert. Schließlich heißt X beschränkt, falls X nach oben und unten beschränkt ist.

Definition (Minimum und Maximum)

Seien X ⊆ ℝ und s  ∈  ℝ. Dann heißt s das Maximum oder von X, in Zeichen s = max(X), falls s  ∈  X und X ≤ s. Analog heißt s das Minimum von X, in Zeichen s = min(X), falls s  ∈  X und s ≤ X.

Für a₁, …, a_n  ∈  ℝ setzen wir zur Vereinfachung der Notation

max(a₁, …, a_n) = max({ a₁, …, a_n }),

min(a₁, …, a_n) = min({ a₁, …, a_n }).

Definition (Supremum und Infimum)

Seien X ⊆ ℝ und s  ∈  ℝ. Dann heißt s das Supremum oder die kleinste obere Schranke von X, in Zeichen s = sup(X), falls s = min { t | X ≤ t }. Analog heißt s das Infimum oder die größte untere Schranke von X, falls s = max { t | t ≤ X }.

Beispiele

(1)	[ 0, 1 ] ≤ 1, [ 0, 1 [ ≤ 2.

(2)	max([ 0, 1 ]) = 1, max([ 0, 1 [) existiert nicht, sup([ 0, 1 ]) = 1, sup([ 0, 1 [) = 1.

(3)	Sei X = { q  ∈  ℚ \| q > 0 ∧ q² ≤ 2 }. Dann ist X nach oben beschränkt, max(X) existiert nicht und sup(X) = $\sqrt{2}$  ∉  ℚ.

Das Maximum einer Menge ist immer ein Element der Menge. Das Supremum einer Menge kann der Menge angehören oder auch nicht. Existiert max(X), so ist sup(X) = max(X). Ist s = sup(X), so ist s = max(X ∪ { s }).

3. Das Vollständigkeitsaxiom

Axiom (Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen)

Jede nichtleere und nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum in den reellen Zahlen.

Konvention

sup(∅) = −∞, inf (∅) = ∞

sup(X) = ∞, falls X ⊆ ℝ nach oben unbeschränkt ist

inf (X) = −∞, falls X ⊆ ℝ nach unten unbeschränkt ist

−∞ < ∞, −∞ < x, x < ∞	für alle x  ∈  ℝ
∞ + ∞ = ∞, −∞ − −∞ = −∞
x + ∞ = ∞, x − ∞ = −∞, x/∞ = x/−∞ = 0	für alle x  ∈  ℝ
x · ∞ = ∞, x · −∞ = −∞	für alle x  ∈  ] 0, ∞ ]
x · ∞ = −∞, x · −∞ = ∞	für alle x  ∈  [ − ∞, 0 [

Nicht erklärt sind ∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 · ∞, 0 · −∞, ±∞/∞, ∞/±∞.

Definition (Addition und Skalierung von Teilmengen von ℝ)

Für alle X, Y ⊆ ℝ und alle c  ∈  ℝ setzen wir

X + Y = { x + y | x  ∈  X und y  ∈  Y },

X · Y = X Y = { xy | x  ∈  X und y  ∈  Y },

cX = { c x | x  ∈  X }, −X = (−1) X = { −x | x  ∈  X }.

Satz (Rechenregeln für Suprema und Infima)

Für alle nichtleeren X, Y ⊆ ℝ gilt:

(1)	sup(X + Y) = sup(X) + sup(Y),

(2)	sup(c X) = c sup(X) für alle c > 0,

(3)	sup(X · Y) = sup(X) sup(Y), falls 0 ≤ X, Y,

(4)	X ⊆ Y impliziert sup(X) ≤ sup(Y),

(5)	inf (X) = −sup(−X), sup(X) = −inf (−X).

Analoge Regeln gelten für Infima.

Korollar (Existenz von Infima)

Sei X ⊆ ℝ nichtleer und nach unten beschränkt. Dann existiert inf (X).

4. Das Archimedische Axiom

Axiom (Archimedisches Axiom)

Für alle reellen Zahlen x > 0 gibt es eine natürliche Zahl n ≥ 1 mit 1/n < x.

Das Archimedische Axiom lässt sich aus dem Vollständigkeitsaxiom ableiten, sodass es nicht explizit gefordert muss.

Satz (Identifikation von Suprema mit Hilfe des archimedischen Axioms)

Sei X ⊆ ℝ nichtleer und nach oben beschränkt. Weiter sei s  ∈  ℝ. Dann sind äquivalent:

(1)	s = sup(X).

(2)	X ≤ s und für alle n  ∈  ℕ* gibt es ein x  ∈  X mit x + 1/n > s.

Beweis

(1) impliziert (2) :

Sei s = sup(X). Dann gilt X ≤ s. Sei also n ≥ 1 beliebig. Da s die kleinste obere Schranke von X ist, ist s − 1/n keine obere Schranke von X. Also gibt es ein x  ∈  X mit x > s − 1/n. Folglich ist x + 1/n > s.

(2) impliziert (1) :

Es gelte (2). Dann ist s eine obere Schranke von X. Sei nun t < s beliebig. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein n ≥ 1 derart, dass 1/n ≤ s − t. Sei nun x  ∈  X mit x + 1/n > s. Dann ist aber x > s − 1/n ≥ t, sodass t keine obere Schranke von X ist. Dies zeigt, dass s die kleinste obere Schranke von X ist.

5. Dichte Mengen

Satz (Dichtheit der rationalen Zahlen)

Seien x, y  ∈  ℝ mit x < y. Dann gibt es ein q  ∈  ℚ mit x < q < y.

Beweis

Wir setzen ε = y − x. Dann ist ε > 0. Folglich existiert ein n ≥ 1 mit 1/n < ε. Die Vielfachen m · 1/n  ∈  ℚ, m  ∈  ℕ, von 1/n sind unbeschränkt in ℝ und folgen aufeinander im Abstand 1/n, da

(m + 1) 1/n − m 1/n = (m + 1 − m) 1/n = 1/n für alle m  ∈  ℕ.

Wegen 1/n < x − y muss eines dieser Vielfachen zwischen x und y liegen.

Definition (dicht)

Eine Menge D reeller Zahlen heißt dicht in ℝ, falls für alle x < y in ℝ ein z  ∈  D existiert mit x < z < y.

Beispiele für in ℝ dichte Mengen sind ℚ, ℝ und { ± n/2^m | n, m  ∈  ℕ }.

6. Grenzwerte monotoner Folgen

Um die Notation zu vereinfachen, schreiben wir

sup_n x_n statt sup({ x_n | n  ∈  ℕ }), inf_n x_n statt inf ({ x_n | n  ∈  ℕ }).

Satz (Grenzwerte monotoner Folgen)

Sei x₀, x₁, …, x_n, … eine Folge in ℝ. Dann gilt

(1)	Ist die Folge monoton wachsend, d. h. x_n ≤ x_n + 1 für alle n, so gilt lim_n x_n = sup_n x_n  ∈  ℝ ∪ { ∞ }.

(2)	Ist die Folge monoton fallend, d. h. x_n > x_n + 1 für alle n, so gilt lim_n x_n = inf_n x_n  ∈  ℝ ∪ { −∞ }.

Die Grenzwerte sind dabei genau dann Elemente von ℝ, wenn die Folge beschränkt ist.

Beispiele

(1)	Die Folge x₀, x₁, x₂, … mit x_n = n für alle n ist monoton steigend. Es gilt lim_n x_n = sup_n x_n = ∞.

(2)	Die Folge x₀, x₁, x₂, … mit x_n = 1/2ⁿ für alle n ist monoton fallend. Es gilt lim_n x_n = inf_n x_n = 0.

(3)	Die Folge x₀, x₁, x₂, … mit x_n = (−1)ⁿ für alle n ist nicht monoton. Es gilt inf_n x_n = −1 und sup_n x_n = 1. Dagegen existiert lim_n x_n nicht.

7. Grenzwerte von Pendelfolgen

Definition (Pendelfolge)

Eine Folge x₀, x₁, …, x_n, … in ℝ heißt eine linksstartende Pendelfolge, falls gilt:

x₀ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_2n ≤ … ≤ x_2n + 1 ≤ … ≤ x₃ ≤ x₁.

Analog sind rechtsstartende Pendelfolgen definiert durch die Eigenschaft

x₁ ≤ x₃ ≤ … ≤ x_2n + 1 ≤ … ≤ x_2n ≤ … ≤ x₂ ≤ x₀.

Satz (Grenzwerte von Pendelfolgen)

Sei x₀, x₁, …, x_n, …, eine linksstartende Pendelfolge in ℝ. Dann existiert der Grenzwert der Folge genau dann, wenn gilt:

inf_n (x_2n + 1 − x_2n) = 0.(Konvergenzbedingung für Pendelfolgen)

In diesem Fall ist lim_n x_n = sup_n x_2n = inf_n x_2n + 1.

Beispiele

(1)	Die Folge x₀, x₁, x₂, … mit x_n = (−1)ⁿ/2ⁿ für alle n ist eine rechtsstartende Pendelfolge mit 0 = lim_n x_n = sup_n x_{2n + 1} = inf_n x_2n.

(2)	Die Folge x₀, x₁, x₂, … mit x_n = (−1)^n + 1 für alle n ist eine linksstartende Pendelfolge, die die Konvergenzbedingung nicht erfüllt.

8. Intervallschachtelungen

Definition (Intervallschachtelung)

Eine Folge I₀, I₁, …, I_n, … von reellen Intervallen I_n heißt eine Intervallschachtelung, falls I₀ ⊇ I₁ ⊇ … ⊇ I_n ⊇ ….

Satz (Satz über Intervallschachtelungen)

Sei I₀, I₁, …, I_n, … eine Intervallschachtelung aus abgeschlossenen und beschränkten Intervallen I_n = [ a_n, b_n ]. Weiter sei

I = ⋂_n I_n = { x  ∈  ℝ | x  ∈  I_n für alle n  ∈  ℕ }.

Dann gilt I = [ sup_n a_n, inf_n b_n ] ≠ ∅. Weiter gilt I = { sup_n a_n } = { inf_n b_n } genau dann, wenn lim_n(b_n − a_n) = 0.

Beweis

Die monotonen Folgen a₀, a₁, … a_n, … und b₀, b₁, …, b_n, … der linken und rechten Intervallgrenzen sind aufgrund der Schachtelung der Intervalle monoton steigend bzw. fallend und zudem beschränkt, sodass sie gegen ihr Supremum a bzw. Infimum b konvergieren. Das Intervall [ a, b ] ist ein Teilintervall jedes Intervalls I_n und somit im Durchschnitt I der Intervalle enthalten. Andererseits können wegen a = sup_n a_n und b = inf_n b_n keine weiteren Punkte in I enthalten sein, sodass I = [ a, b ]. Aus der Äquivalenz von lim_n (a_n − b_n) = 0 und a = b ergibt sich der Zusatz.

9. Die Dezimaldarstellung

Für m  ∈  ℕ und Nachkommaziffern d₁, …, d_n  ∈  { 0, …, 9 } setzen wir

m, d₁ … d_n = m + ^d₁₁₀ + ^d₂₁₀₀ + … + ^d_n_10ⁿ.(endlicher Dezimalbruch)

Lesen wir die Ziffernfolge d₁ … d_n als Dezimalzahl, so gilt

m, d₁ … d_n = m + ^d₁…d_n_10ⁿ.

Charakterisierung der endlichen Dezimalbrüche

Genau die rationalen Zahlen q ≥ 0 der Form q = a/10ⁿ lassen sich als endlicher Dezimalbruch schreiben. In gekürzter Form sind dies genau die Brüche, deren Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.

Definition (unendlicher Dezimalbruch)

Für m  ∈  ℕ und eine Folge (d_n)_{n  ∈  ℕ} in { 0, …, 9 } setzen wir

m, d₁ d₂ … = sup_n m, d₁ … d_n.(unendlicher Dezimalbruch)

Jeder unendliche Dezimalbruch definiert eine eindeutige reelle Zahl x ≥ 0. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht gültig.

Beispiel: Neuner-Periode

Es gilt 1 = 1,000… = 0,999… Denn nach Definition ist

0,999…	= sup_n 0,9…9 (mit n Stellen)
	= sup_n (1 − 1/10ⁿ) = 1 − inf_n 1/10ⁿ = 1 − 0 = 1.

Der Einwand, dass zu 1 in 0,999… immer noch „etwas fehlen“ würde, ist damit entkräftet: 0,999… ist definiert als Supremum einer Menge und ein Supremum muss einer Menge nicht angehören.

Charakterisierung der Nichteindeutigkeit

Jede reelle Zahl x ≥ 0 hat genau eine oder genau zwei unendliche Dezimaldarstellungen. Genauer gilt:

(1)	0 hat die eindeutige unendliche Dezimaldarstellung 0 = 0,000…

(2)	Eine reelle Zahl x > 0 hat genau dann zwei unendliche Darstellungen, wenn x von der Form m, d₁ … d_n ist mit d_n ≠ 0. In diesem Fall gilt x = m, d₁ …d_n000…(Nullfortsetzung) x = m, d₁… (d_n − 1)999…(Neuner-Periode)