17. Vorlesung Der Fundamentalsatz der Algebra

1. Komplexe Polynome

Definition (komplexes Polynom)

Seien a₀, …, a_n  ∈  ℂ. Dann heißt die Funktion f : ℂ → ℂ mit

f (z) = a_n zⁿ + a_n − 1 z^n − 1 + … + a₀ für alle z  ∈  ℂ

das (komplexe) Polynom oder die (komplexe) Polynomfunktion mit den Koeffizienten a₀, …, a_n.

Genau wie für ℝ wird der Grad deg(f) eines komplexen Polynoms erklärt. Auch die Definitionen der Begriffe Leitkoeffizient, normiert, Nullpolynom, konstantes Polynom, Nullstelle können übernommen werden.

2. Der Fundamentalsatz der Algebra

Satz (Fundamentalsatz der Algebra)

Seien a₀, …, a_n  ∈  ℂ mit n ≥ 1 und a_n ≠ 0. Weiter sei f : ℂ → ℂ mit

f (z) = a_nzⁿ + … + a₁z + a₀ für alle z  ∈  ℂ

das zugehörige komplexe Polynom. Dann gibt es (nicht notwendig paarweise verschiedene) w₁, …, w_n  ∈  ℂ mit

f (z) = a_n (z − w₁) · (z − w₂) · … · (z − w_n) für alle z  ∈  ℂ.

Kurz: Jedes komplexe Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Alternativ können wir den Fundamentalsatz auch so formulieren:

Jedes komplexe Polynom vom Grad größergleich 1 besitzt mindestens eine Nullstelle.

Weiß man dies, so gewinnt man durch wiederholtes Abspalten von Linearfaktoren den Satz in der obigen Version. Schließlich können wir anstelle eines Polynoms auch eine algebraische Gleichung a_n zⁿ + a_n − 1 z^n − 1 + … + a₀ = 0 mit komplexen Koeffizienten a_k betrachten:

Satz (Fundamentalsatz der Algebra, Version für algebraische Gleichungen)

Sei a_nzⁿ + … + a₁z + a₀ = 0 eine algebraische Gleichung mit Koeffizienten a₀, …, a_n  ∈  ℂ, a_n ≠ 0, n ≥ 1. Dann gibt es w₁, …, w_n  ∈  ℂ mit

a_nzⁿ + … + a₁z + a₀ = a_n (z − w₁) · (z − w₂) · … · (z − w_n).

Die Gleichung hat also genau die komplexen (nicht notwendig paarweise verschiedenen) komplexen Lösungen w₁, …, w_n.

3. Komplexe Quadratwurzeln

Definition (komplexe Quadratwurzel)

Sei u  ∈  ℂ. Eine komplexe Zahl w heißt eine komplexe Quadratwurzel von u, falls w² = u gilt.

Mit w ist immer auch −w eine komplexe Quadratwurzel von u. Zum Beispiel hat −1 die komplexen Quadratwurzeln i und −i.

Satz (komplexe Quadratwurzeln in Polarkoordinaten)

Sei u  ∈  ℂ, und sei u = (r, φ) in Polarkoordinaten. Dann sind

w = ( $\sqrt{r}$ , φ/2) und −w = ( $\sqrt{r}$ , φ/2 + π)

die in Polarkoordinaten dargestellten komplexen Quadratwurzeln von u.

Kartesisch ist w = $\sqrt{r}$ (cos φ/2, sinφ/2). Nach den Halbwinkelformeln für den Kosinus und Sinus ist

r cos²(φ/2) = ^{r + r cos φ}₂, r sin²(φ/2) = ^{r − r cos φ}₂.

Wegen r cos φ = Re(u) erhalten wir

Re(w)² = r cos²(φ/2) = ^{r + Re(u)}₂, Im(w)² = r sin²(φ/2) = ^{r − Re(u)}₂.

Die Werte cos(φ/2) und sin(φ/2) haben genau dann verschiedene Vorzeichen, wenn Im(u) < 0. Damit erhalten wir:

Satz (komplexe Quadratwurzeln in kartesischen Koordinaten)

Sei u  ∈  ℂ. Weiter seien r = |u| und

$σ = { \begin{matrix} 1 & falls Im (u) \geq 0, \\ - 1 & falls Im (u) < 0. \end{matrix}$

Dann sind die komplexen Quadratwurzeln von u gegeben durch

w_1/2 = ± ( $\sqrt{\frac{r + Re (u)}{2}}$ , σ $\sqrt{\frac{r - Re (u)}{2}}$ )

Die Mitternachtsformel gilt auch für die komplexen Zahlen. Eine Gleichung a z² + b z + c = 0 zweiten Grades in ℂ hat die komplexen Lösungen

w_1,2 = $\frac{- b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2 a}$ ,(Mitternachtsformel für ℂ)

wobei wir unter der Wurzel irgendeine der beiden komplexen Quadratwurzeln von u = b² − 4ac verstehen.

4. Die komplexen Einheitswurzeln

Definition (n-te Einheitswurzel)

Sei n ≥ 1. Dann heißt ein w  ∈  ℂ eine n-te Einheitswurzel, falls wⁿ = 1.

Schreiben wir ein w  ∈  ℂ in Polarkoordinaten (r, φ), so ist wⁿ = (rⁿ, nφ). Damit gilt wⁿ = (1, 0) genau dann, wenn eine ganze Zahl k existiert mit

(rⁿ, nφ) = (1, k2π).

Damit sind genau die komplexen Zahlen

w_k = (1, k2π/n) für alle k  ∈  ℤ

n-te Einheitswurzeln. Beschränken wir k auf 0, …, n − 1, so erhalten wir alle paarweise verschiedenen Wurzeln. Damit haben wir gezeigt:

Satz (n-te Einheitswurzeln)

Sei n ≥ 1. Dann sind für k = 0, …, n − 1 die komplexen Zahlen

w_k = (1, k2π/n)	in Polarkoordinaten,
w_k = (cos(k 2π/n), sin(k 2π/n))	in kartesischen Koordinaten

alle n-ten Einheitswurzeln. Sie bilden das regelmäßige in den Einheitskreis einbeschriebene n-Eck, dem der Punkt w₀ = 1 = (1, 0) angehört.

Traditionell werden die komplexen Einheitswurzeln mit dem griechischen Buchstaben Zeta bezeichnet. Wir setzen also

ζⁿ_k = (cos (^k 2π_n), sin (^k 2π_n)) für alle n ≥ 1 und k  ∈  ℤ.

5. Das Pentagon

Als Anwendung der komplexen Einheitswurzeln analysieren wir das regelmäßige Fünfeck (Pentagon). Sei hierzu

z = ζ⁵₁ = (cos(2π/5), sin(2π/5)).

Dann sind 1, z, z², z³, z⁴ die Ecken des regelmäßigen in den Einheitskreis einbeschriebenen Fünfecks, dem der Punkt (1, 0) angehört. Aus der auch in ℂ gülitgen geometrischen Summenformel und z⁵ = 1 folgt

(+) 1 + z + z² + z³ + z⁴ = ^1 − z⁵_1 − z = 0.

Wir setzen w = z + z⁴. Dann gilt

w = z + z⁴ = z + z⁻¹ = z + z = 2 Re(z) = 2 cos(2π/5) > 0,

w² + w − 1 = z² + 2zz⁴ + z⁸ + z + z⁴ − 1 = 1 + z + z² + z³ + z⁴ = 0.

Die Mitternachtsformel liefert wegen w > 0, dass w = ( $\sqrt{5}$ − 1)/2, d. h. w ist das Inverse des goldenen Schnitts (1 + $\sqrt{5}$ )/2. Wegen w = 2 Re(z) erhalten wir

cos(2π/5) = $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ .

Da sich der Punkt P = (( $\sqrt{5}$ − 1)/4, 0) und damit ζ₁ geometrisch mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, haben wir gezeigt, dass Re(z) und damit z und in der Folge auch das ganze regelmäßige Pentagon mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Dies ist keineswegs klar. Ein regelmäßiges Siebeneck kann zum Beispiel nicht mehr mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruiert werden. Der Wert cos(2π/7) lässt sich im Gegensatz zu cos(2π/5) nicht mehr als Wurzelausdruck schreiben.

6. Ein anschaulicher Beweis des Fundamantalsatzes

Sei f : ℂ → ℂ,

f (z) = z_n + a_n − 1 z^n − 1 + … + a₁ z + a₀ für alle z  ∈  ℂ,

ein normiertes komplexes Polynom n-ten Grades. Die Nullstellen von f sind die gemeinsamen Nullstellen der reellwertigen Funktionen Re(f (z)) und Im(f (z)). Wir setzen

A_n = { z  ∈  ℂ | Re(zⁿ) = 0 }, B_n = { z  ∈  ℂ | Im(zⁿ) = 0 }.

Diese Mengen bestehen aus n Geraden durch den Nullpunkt, die 2n unendliche Kreissektoren mit dem Winkel π/n definieren. Der Menge B_n gehört die x-Achse an, A_n entsteht aus B_n durch eine Drehung um den halben Winkel π/(2n) eines Sektors. Die Geraden, aus denen A_n und B_n bestehen, wechseln sich ab.

Für komplexe Zahlen z mit einem sehr großen Betrag r = |z| ist f (z) ungefähr gleich zⁿ, da der Leitterm zⁿ das Polynom dominiert. Damit haben die Mengen

A_f = { z  ∈  ℂ | Re(f (z)) = 0 }, B_f = { z  ∈  ℂ | Im(f (z)) = 0 }

außerhalb eines Kreises K mit dem Mittelpunkt 0 und einem hinreichend großen Radius r recht genau die sternförmige Gestalt der Mengen A_n und B_n. Innerhalb des Kreises K verlaufen die Linien von A_f und B_f nicht mehr geradlinig wie in A_n und B_n, aber ein Schnittpunkt von A_f und K wird aus Stetigkeitsgründen mit einem weiteren solchen Schnittpunkt verbunden. Gleiches gilt für B_f. Da sich nun die Schnittpunkte von A_f und K mit den Schnittpunkten von B_f und K abwechseln, müssen sich die betrachteten Verbindungslinien innerhalb von K schneiden. Jeder solche Schnittpunkt ist eine Nullstelle von f. Da es je 2n Schnittpunkte für A_f und B_f mit K gibt, erhalten wir genau n (nicht notwendig paarweise verschiedene) Nullstellen von f.