18. Vorlesung Die komplexe Exponentialfunktion

1. Analytische Begriffe für komplexe Zahlen

Den Limes lim_n z_n = z einer Folge (z_n)_n ∈ ℕ komplexer Zahlen können wir wie in ℝ definieren durch

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |z − z_n| < ε (mit ε  ∈  ℝ wie bisher).

Die Konvergenz von (z_n)_n ∈ ℕ gegen z bedeutet, dass für jedes ε > 0 fast alle (alle bis auf höchstens endlich viele) Folgenglieder in der offenen ε-Umgebung

U_ε(z) = { w  ∈  ℂ | |z − w| < ε }

von z liegen. Jeder Kreis um z fängt die Folge die schließlich ein.

Aus dem Konvergenzbegriff für Folgen ergibt sich der Konvergenzbegriff für unendliche Reihen in ℂ: Im Fall der Existenz ist

∑_n z_n = z₀ + … + z_n + … = lim_n s_n, wobei s_n = z₀ + … + z_n

wieder die n-te Partialsumme der Folge (z_n)_n ∈ ℕ in ℂ ist.

Der Grenzwert

lim_z → p f (z) = a

ist für eine Funktion f : ℂ → ℂ, eine Stelle p  ∈  ℂ und ein a  ∈  ℂ definiert durch

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀w  ∈  ℂ (|w − p| < δ → |f (w) − a| < ε) (mit ε, δ  ∈  ℝ wie bisher).

Gilt lim_z → p f (z) = f (p), so nennen wir wieder f stetig an der Stelle p. In der ε-δ-Formulierung lautet die Stetigkeit von f an der Stelle p:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀w  ∈  ℂ (|w − p| < δ → |f (w) − f (p)| < ε).

Gleichwertig kann die Stetigkeit wieder als Folgenstetigkeit formulieren werden:

Für alle Folgen (z_n)_n ∈ ℕ in ℂ mit lim_n z_n = p gilt lim_n f (z_n) = f (p).

Diese Definitionen lassen sich an Funktionen f : P → ℂ anpassen, die nur auf einer gewissen Teilmenge P der komplexen Zahlenebene definiert sind.

Differentialquotienten können ebenfalls unverändert ins Komplexe übertragen werden: Für f : P → ℂ und p  ∈  P heißt im Fall der Existenz

f ′(p) = lim_z → p ^{f (z) − f (p)}_z − p  ∈  ℂ

die Ableitung von f an der Stelle p. Die üblichen Notationen werden übernommen. Wie in ℝ gilt zum Beispiel

^d_dz zⁿ = n z^n − 1.

2. Die komplexe Expoentialfunktion

Definition (komplexe Exponentialfunktion)

Die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ ist die eindeutige Funktion f : ℂ → ℂ mit

(a)

f ′ = f,

(b)	f (0) = 1.

Wie für die reelle Expoentialfunktion folgt hieraus das Additionstheorem

exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w  ∈  ℂ,

welches die Notation e^z für exp(z) motiviert. Für alle z  ∈  ℂ gilt die Reihendarstellung

exp(z) = ∑_n ^zⁿ_n! = 1 + z + ^z²₂ + … + ^zⁿ_n! + …(komplexe Exponentialreihe)

Die Konvergenz der Exponentialreihe kann wie im Reellen mit Hilfe des Quotientenkriteriums bewiesen werden.

3. Die Eulersche Formel

Satz (Kreisaufwicklung, Eulersche Formel)

Für alle x  ∈  ℝ gilt

exp(i x) = (cos x, sin x) = cos(x) + i sin(x).(Eulersche Formel)

Beweis 1: Potenzreihenentwicklung

Für alle x  ∈  ℝ gilt unter Verwendung der Potenzreihenentwicklungen des Kosinus und Sinus:

e^i x	= ∑_n ^(ix)ⁿ_n! = 1 + i x + i² ^x²₂ + … + iⁿ ^xⁿ_n! + …
	= 1 + i x − ^x²₂ − i ^x³_3! + ^x⁴_4! + i ^x⁵_5!x − ^x⁶_6! − i ^7³_7! + …
	= ∑_n (−1)ⁿ ^x²ⁿ_(2n)! + i ∑_n (−1)ⁿ ^{x^2n + 1}_(2n + 1)!
	= cos x + i sin x.

Beweis 2: Ableiten

Wir wissen bereits, dass e^ix für alle x  ∈  ℝ auf dem Einheitskreis liegt. Damit gibt es für alle x  ∈  ℝ ein φ(x)  ∈  ℝ mit

(+) e^ix = (cos φ(x), sin φ(x)) = cos φ(x) + i sin φ(x).

Dann gilt (unter Verwendung der auch in ℂ gültigen elementaren Ableitungsregeln):

− sin φ(x) + i cos φ(x)	= i e^ix = ^d_dx e^ix = ^d_dx (cos φ(x) + i sin(φ(x))
	= − sin φ(x) φ′(x) + i cosφ(x) φ′(x)
	= (−sin φ(x) + i cosφ(x)) φ′(x).

Damit ist φ′(x) = 1 für alle x  ∈  ℝ. Folglich gibt es ein c  ∈  ℝ mit φ(x) = x + c für alle x  ∈  ℝ. Speziell ist φ(0) = c. Nach (+) gilt für x = 0

1 = eⁱ⁰ = cos c + i sin c,

sodass c ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Sei also k  ∈  ℤ mit c = k2π. Dann gilt für alle x  ∈  ℝ:

e^ix = cos φ(x) + i sin φ(x) = cos(x + k2π) + i sin(x + k2π) = cos x + i sin x.

Für x = π ergibt sich:

Korollar (Eulersche Identität)

e^i π + 1 = 0.

Damit sind die fünf fundamentalen mathematischen Größen 0, 1, i, π und e in einer Aussage vereint.

Korollar (Periodizität)

Für alle z  ∈  ℂ und k  ∈  ℤ gilt exp(z + i k2π) = exp(z).

Beweis

exp(z + i k 2π) = exp(z) exp(i k 2π) = exp(z) exp(i 2π)^k = exp(z) 1^k = exp(z).

Aufgrund ihrer Periodizität ist die komplexe Exponentialfunktion durch ihre Werte auf dem Streifen ℝ × [ 0, 2π [ bestimmt. Die Funktion wiederholt sich, wenn wir mehrere derartige Streifen übereinander oder untereinander legen.

4. Die Abbildungsdynamik der komplexen Expoentialfunktion

Aus exp(x + iy) = exp(x) exp(i y) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)) erhalten wir:

Anschauliche Beschreibung der komplexen Exponentialfunktion

Sei p  ∈  ℂ ein Punkt der Ebene, und sei exp(p)  ∈  ℂ sein Bild unter der komplexen Exponentialfunktion. Bewegen wir uns, in p startend, in der Variablen z parallel zur x-Achse, so bewegt sich exp(z) auf der Halbgeraden, die von 0 durch exp(p) führt. Dabei erreicht exp(z) bei einer Bewegung nach links nie die Null, entfernt sich dagegen bei einer Bewegung nach rechts mit exponentieller Geschwindigkeit. Bewegen wir uns in p startend in der Variablen z parallel zur y-Achse, so dreht sich f (z) auf dem Kreis mit Radius r = |f (p)| durch den Nullpunkt. Die Kreisbewegung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn bei einer Bewegung nach oben und im Uhrzeigersinn bei einer Bewegung nach unten. Ein Kreisdurchlauf von f (z) der Länge 2rπ benötigt das Durchlaufen eines Intervalls der Länge 2π in z.

5. Anwendung: Die Additionstheoreme

Zu den bestechendsten Anwendungen der Eulerschen Formel gehört die simultane Herleitung der Additionstheoreme für den Kosinus und Sinus. Für alle x, y  ∈  ℝ gilt:

cos(x + y) + i sin(x + y)	= e^{i (x + y)} = e^{i x + i y} = e^i x e^i y
	= (cos x + i sin x) (cos y + i sin y)
	= cos x cos y − sin x sin y + i (cos x sin y + cos y sin x)

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, sin(x + y) = cos x sin y + cos y sin x.

6. Anwendung: Einheitswurzeln

Sei n ≥ 1, und seien wieder

ζⁿ_k = (cos (^k 2π_n), sin (^k 2π_n)) für k  ∈  ℤ,

sodass ζⁿ₀, …, ζⁿ_n − 1 die n-ten Einheitswurzeln sind. Dann gilt

ζⁿ_k = e^{i k 2π/n} für alle k  ∈  ℤ.

Durch diese Darstellung wird das Rechnen mit den Einheitswurzeln vereinfacht. So gilt zum Beispiel für alle ganzzahligen k und m

ζⁿ_k ζⁿ_m = exp(ik 2π/n) exp(im 2π/n) = exp(i (k + m) 2π/n) = ζⁿ_k + m.

7. Anwendung: Reihenentwicklungen für Kosinus und Sinus

Kennt man die komplexe Exponentialreihe, so lassen sich die Reihenentwicklungen des Kosinus und Sinus leicht reproduzieren:

cos x + i sin x	= e^i x = ∑_n ^(ix)ⁿ_n! =
	= 1 + i x − ^x²₂ − i ^x³_3! + ^x⁴_4! + i ^x⁵_5!x − ^x⁶_6! − i ^7³_7! + …
	= ∑_n (−1)ⁿ ^x²ⁿ_(2n)! + i ∑_n (−1)ⁿ ^{x^2n + 1}_(2n + 1)!.

8. Anwendung: Ableitungen des Kosinus und Sinus

Die Ableitungen des Kosinus und Sinus lassen sich ebenfalls mit der Eulerschen Formel reproduzieren:

cos′ x + i sin′ x	= ^d_dx (cos x + i sin x) = ^d_dx e^ix = i e^ix =
	= i (cos x + i sin x) = −sin x + i cos x.

Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt cos′ = − sin und sin′ = cos.

Bemerkung

Es ist möglich, die komplexe Exponentialfunktion bei einem Aufbau der Analysis an die Spitze zu stellen und die trigonometrischen Funktionen durch

cos(x) = Re(e^ix), sin(x) = Im(e^ix) für alle x  ∈  ℝ

zu definieren. Bei diesem Vorgehen lassen sich die Additionstheoreme, die Reihenentwicklungen und die Ableitungen des Kosinus und Sinus mit obigen Argumenten beweisen. Weiter ergibt sich eine analytische Definition von π, indem π/2 als die erste positive Nullstelle des Kosinus oder alternativ 2π als die Periode von exp festlegt wird. Dann ist aber zu zeigen, dass die analytische Größe π mit der geometrischen Größe π übereinstimmt. Allgemeiner muss die Längentreue der Kreisaufwicklung nachgewiesen werden, die bei diesem Ansatz keineswegs klar ist.