20. Vorlesung Die Euklidische Ebene

1. Die Winkelformel

Definition (eingeschlossener Winkel)

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. Dann setzen wir

∡(v, w) = „der von v und w eingeschlossene Winkel in [ 0, π ]“.

Satz (Winkelformel)

Seien v, w  ∈  ℝ² von 0 verschieden, und sei φ = ∡(v, w). Dann gilt:

cos φ = 〈 v̂, ŵ 〉 = ^{〈 v, w 〉}_{∥v∥ ∥w∥}, φ = arccos(〈 v̂, ŵ 〉).(Winkelformel)

Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. In einem Dreieck ABC mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gilt:

a² = b² + c² − 2 cos(α) b c.(Kosinussatz)

Für das Dreieck mit den Ecken A = 0, B = w und C = v gilt

(i)	a = ∥ v − w ∥, b = ∥v∥, c = ∥w∥,

(ii)	α = ∡(v, w) = φ.

Der Kosinussatz für dieses Dreieck liest sich nun in der Form

(1) ∥ v − w ∥² = ∥v∥² + ∥w∥² − 2 cos(α) ∥v∥ ∥w∥.

Nach der zweiten binomischen Formel für das Skalarprodukt gilt aber

(2) ∥ v − w ∥² = ∥v∥² + ∥w∥² − 2 〈 v, w 〉.

Durch Vergleich von (1) und (2) erhalten wir cos(φ) ∥v∥ ∥w∥ = 〈 v, w 〉.

Beweis mit Hilfe des Additionstheorems für den Kosinus

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. Wir dürfen annehmen (nach evtl. Vertauschung von v und w), dass es x₁, y₁, x₂, y₂, φ₁, φ₂  ∈  ℝ gibt mit

(i)	v̂ = (x₁, y₁) = (cos φ₁, sin φ₁),

(ii)	ŵ = (x₂, y₂) = (cos φ₂, sin φ₂),

(iii)

φ₁ ≤ φ₂ ≤ φ₁ + π.

Dann ist φ = φ₂ − φ₁ = ∡(v, w). Nach dem Additionstheorem für den Kosinus gilt

cos φ	= cos(φ₂ − φ₁) = cos φ₂ cos φ₁ − sin φ₂ sin (−φ₁)
	= cos φ₁ cos φ₂ + sin φ₁ sin φ₂ = x₁ x₂ + y₁ y₂ = 〈 v̂, ŵ 〉.

2. Orthogonalität und Kollinearität

Definition (orthogonal, aufeinander senkrecht stehen)

Seien v, w  ∈  ℝ². Wir sagen, dass v und w orthogonal sind oder aufeinander senkrecht stehen, falls 〈 v, w 〉 = 0.

Definition (kollinear, parallel, antiparallel)

Seien v, w  ∈  ℝ². Wir sagen, v und w sind

kollinear,	falls	\|〈 v, w 〉\| = ∥v∥ ∥w∥,
parallel,	falls	〈 v, w 〉 = ∥v∥ ∥w∥,
antiparallel,	falls	〈 v, w 〉 = − ∥v∥ ∥w∥.

Definition (orthogonale Projektion)

Wir setzen für alle u, v  ∈  ℝ²:

pr_u(v) = 〈 û, v 〉 û.(Projektionsformel)

Der Vektor pr_u(v)  ∈  ℝ² heißt die (orthogonale) Projektion des Vektors v auf den Vektor u.

Die Vektoren u und pr_u(v) sind nach Definition kollinear. Die Bezeichnung als orthogonale Projektion wird dadurch erklärt, dass pr_u(v) und w = v − pr_u(v) aufeinander senkrecht stehen:

〈 pr_u(v), w 〉	= 〈 pr_u(v), v 〉 − 〈 pr_u(v), pr_u(v) 〉
	= 〈 〈 û, v 〉 û, v 〉 − 〈 〈 û, v 〉 û, 〈 û, v 〉 û 〉
	= 〈 û, v 〉 〈 û, v 〉 − 〈 û, v 〉 〈 û, v 〉 〈 û, û 〉
	= 〈 û, v 〉² − 〈 û, v 〉² = 0.

Als Merkhilfe kann man verwenden:

Zur Struktur der Projektionsformel

(1)	Die Projektion von v auf u ist unabhängig von der Länge von u und damit ein skalares Vielfaches von û.

(2)	Die Projektion von λv auf u ist das λ-fache der Projektion von v auf u.

3. Determinanten

Definition (aufgespanntes Parallelogramm)

Seien v, w  ∈  ℝ². Dann heißt die Menge

P = { λ v + μ w | λ, μ  ∈  [ 0, 1 ] } ⊆ ℝ²

das von v und w aufgespannte Parallelogramm.

Definition (Orientierung eines Vektorpaars)

Seien v, w  ∈  ℝ² nicht kollinear, und sei v_⊥ = rot_π/2(v) = (− v₂, v₁). Weiter sei ψ = ∡(v_⊥, w). Dann heißt (v, w) positiv orientiert, wenn ψ  ∈  [ 0, π/2 [ , und negativ orientiert, wenn ψ  ∈  ] π/2, π ].

Wir berechnen nun die orientierte Fläche A des von zwei Vektoren v, w aufgespannten Parallelogramms, wobei das Vorzeichen von A der Orientierung des Vektorpaars entsprechen soll. Wir betrachten s = ∥v∥ als Grundseite von P. Dann berechnet sich die signierte Höhe von P zu

h = cos ψ ∥w∥, wobei ψ = ∡(v_⊥, w)  ∈  [ 0, π ] mit v_⊥ = rot_π/2(v) = (−v₂, v₁).

Wegen ∥ v_⊥ ∥ = ∥v∥ ist

A = s h = ∥v∥ cos ψ ∥w∥ = 〈 v_⊥, w 〉 = 〈 (−v₂, v₁), (w₁, w₂) 〉 = v₁ w₂ − v₂ w₁.

Definition (Determinante)

Seien v, w  ∈  ℝ². Dann heißt die reelle Zahl det(v, w) = v₁ w₂ − v₂ w₁ die Determinante des Vektorenpaars (v, w).

Notation

Wir notieren die Determinante auch in Matrix-Schreibweise in der Form

det  $( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{matrix} )$ statt det((x₁, y₁), (x₂, y₂)).

Satz (Eigenschaften der Determinante)

Für alle v, w, v₁, v₂, w₁, w₂  ∈  ℝ² und alle λ  ∈  ℝ gilt:

(i)	det(e₁, e₂) = 1,

(ii)	det(v, v) = 0,

(iii)

det(v, w) = − det(w, v),

(iv)	det(λ v, w) = det(v, λ w) = λ det(v, w),

(v)	det(v₁ + v₂, w) = det(v₁, w) + det(v₂, w), det(v, w₁ + w₂) = det(v, w₁) + det(v, w₂).

4. Linearkombinationen und Koordinatenvektoren

Definition (Spann, Linearkombination)

Seien v, w  ∈  ℝ². Dann heißt

span(v, w) = { λ v + μ w | λ, μ  ∈  ℝ }

der Spann von v und w. Für alle λ, μ  ∈  ℝ heißt der Vektor λ v + μ w eine Linearkombination von v und w.

Definition (Koordinaten, Koordinatenvektor)

Seien v, w  ∈  ℝ² nicht kollinear, u  ∈  ℝ² und λ, μ  ∈  ℝ mit

u = λ v + μ w.

Dann heißen λ, μ die Koordinaten von u bzgl. v, w. Wir nennen (λ, μ)  ∈  ℝ² auch den Koordinatenvektor des Vektors u bzgl. der Basis (v, w).

5. Lineare Gleichungssysteme

Wir betrachten reelle lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten (oder Unbestimmten). Ein solches System hat die Form

(+)	a x + b y = u₁
	c x + d y = u₂

mit

Koeffizienten	a, b, c, d  ∈  ℝ,
Unbekannten	x, y  ∈  ℝ,
rechter Seite	u = (u₁, u₂)  ∈  ℝ²,
Lösungsmenge	L = { (x, y)  ∈  ℝ² \| a x + b y = u₁, c x + d y = u₂ }.

Ist L ≠ ∅, so heißt das System (+) lösbar. Andernfalls heißt es unlösbar. Besitzt die Menge L genau ein Element, so heißt das System eindeutig lösbar. Weiter heißt

$( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$

die Koeffizienten-Matrix des Systems.

Wir notieren Vektoren (v₁, v₂) der Ebene oft als Spaltenvektoren, d. h.

(v₁, v₂) = $( \begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} )$ .

Damit können wir ein Gleichungssystem (+) schreiben als

(++) x $( \begin{matrix} a \\ c \end{matrix} )$ + y $( \begin{matrix} b \\ d \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} )$ = u.

6. Die Struktur der Lösungsmenge

Definition (homogen, inhomogen)

Ist die rechte Seite u = (u₁, u₂) eines Gleichungssystems der Nullvektor, so nennen wir das System homogen. Andernfalls heißt es inhomogen.

Jedem System

(1)	a x + b y = u₁
	c x + d y = u₂

können wir das homogene System

(2)	a x + b y = 0
	c x + d y = 0

zuordnen. Ist L die Lösungsmenge von (1), (x*, y*)  ∈  L beliebig und L₀ die Lösungsmenge des zugeordneten homogenen Systems (2), so gilt:

L = (x*, y*) + L₀ = { (x*, y*) + (x, y) | (x, y)  ∈  L₀ }.

Insgesamt gilt:

Lösung = spezielle Lösung + homogene Lösung

Die Lösungsmenge L eines Systems ergibt sich durch Finden einer beliebigen Lösung v* und der Lösungsmenge L₀ des zugehörigen homogenen Systems. Es gilt dann L = v* + L₀.

Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Für die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten sind folgende Fälle möglich:

1. Fall: Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist von Null verschieden

In diesem Fall besitzt L genau ein Element. Die eindeutige Lösung ist genau dann der Nullvektor, wenn das System homogen ist.

2. Fall: Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist gleich Null

In diesem Fall gilt genau eine der folgenden Aussagen:

(a)	L ist leer. Das System ist notwendig inhomogen.

(b)	L ist eine affine Gerade, d. h. eine um einen Vektor verschobene Gerade durch den Nullpunkt. Diese Gerade verläuft genau dann durch Null, wenn das System homogen ist.

(c)	L ist die gesamte Ebene. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind.