23. Vorlesung Eigenwerte und Spektralsatz

1. Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition (Eigenwert, Eigenvektor, Eigenpaar)

Seien A  ∈  ℝ^2 × 2, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Dann heißt λ ein Eigenwert und v ein zu λ gehöriger Eigenvektor von A, falls Av = λv. Weiter heißt (λ, v) ein Eigenpaar von A.

Sei A = ((a, b), (c, d))  ∈  ℝ^2 × 2. Für alle λ  ∈  ℝ und alle v  ∈  ℝ² gilt:

Av = λv genau dann, wenn (A − λE₂) v = 0.

Setzen wir also

A_λ = A − λ E₂ = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ − $( \begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a - λ & b \\ c & d - λ \end{matrix} )$ für alle λ  ∈  ℝ,

so ist λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn das Gleichungssystem A_λv = 0 nicht eindeutig lösbar ist. Dies ist äquivalent dazu, dass det(A_λ) = 0, wobei

det(A_λ)	= (a − λ)(d − λ) − bc = λ² − (a + d) λ + ad − bc
	= λ² − spur(A) λ + det(A).

Definition (charakteristisches Polynom)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann heißt das Polynom p_A : ℝ → ℝ zweiten Grades mit

p_A(λ) = det(A_λ) = λ² − spur(A) λ + det(A) für alle λ  ∈  ℝ

das charakteristische Polynom von A.

Die Mitternachtsformel und die Formeln von Vieta eregeben:

Satz (Existenz von Eigenwerten)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann besitzt A genau dann reelle Eigenwerte, wenn

(+) D = spur(A)² − 4det(A) = (a − d)² + 4bc ≥ 0.

In diesem Fall sind die Eigenwerte gegeben durch

λ_1,2 = $\frac{spur (A) ± \sqrt{D}}{2}$ .

Es gilt λ₁ + λ₂ = spur(A) und λ₁λ₂ = det(A). Weiter gilt λ₁ = λ₂ = spur(A)/2 genau dann, wenn D = 0.

Zugehörige Eigenvektoren finden wir durch Lösen der Gleichungssysteme

A_λ₁v = 0 und A_λ₂v = 0.

2. Der Spektralsatz

Aus (+) im obigen Satz folgt, dass Eigenwerte existieren, falls det(A) ≤ 0 oder bc ≥ 0. Für symmetrische Matrizen ist bc = b² ≥ 0, sodass jede symmetrische Matrix A  ∈  ℝ^2 × 2 reelle Eigenwerte besitzt. Diese Eigenwerte sind genau dann gleich, wenn D = (a − d)² + b² = 0, d. h. wenn a = d und b = 0 (sodass A ein skalares Vielfaches von E₂ ist). Damit können wir zeigen:

Satz (Spektralsatz)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist symmetrisch.

(b)	Es gibt zueinander orthogonale Eigenvektoren v und w von A.

Beweis

(a) impliziert (b):

Sei A symmetrisch. Nach obigen Überlegungen besitzt A reelle Eigenwerte λ₁ und λ₂.

Gilt λ₁ = λ₂ = λ, so gilt A = λ E₂ und v = e₁ = (1, 0) und w = e₂ = (0, 1) sind orthogonale Eigenvektoren von A.

Es gelte also λ₁ ≠ λ₂. Seien v und w Eigenvektoren von A zu λ₁ bzw. λ₂. Da A symmetrisch ist, gilt A^t = A. Damit erhalten wir

λ₁ 〈 v, w 〉 = 〈 λ₁v, w 〉 = 〈 Av, w 〉 = 〈 v, A^tw 〉 = 〈 v, Aw 〉 = 〈 v, λ₂w 〉 = λ₂ 〈 v, w 〉.

Folglich ist

(λ₁ − λ₂) 〈 v, w 〉 = λ₁ 〈 v, w 〉 − λ₂ 〈 v, w 〉 = 0.

Wegen λ₁ ≠ λ₂ gilt also 〈 v, w 〉 = 0, sodass v und w orthogonal sind.

(b) impliziert (a):

Seien v und w orthogonale und ohne Einschränkung normierte Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ₁ bzw. λ₂. Seien (α, β), (γ, δ) die Koordinatenvektoren von e₁, e₂ bzgl. der Basis (v, w), d. h.

e₁ = αv + βw, e₂ = γv + δw.

Dann gilt wegen 〈 v, w 〉 = 〈 w, v 〉 = 0, dass

a₁₂	= 〈 e₁, Ae₂ 〉 = 〈 e₁, A(γv + δw) 〉 = 〈 αv + βw, λ₁γv + λ₂δw 〉
	= λ₁αγ〈 v, v 〉 + λ₂βδ〈 w, w 〉 = λ₁αγ + λ₂βδ,

a₂₁	= 〈 Ae₁, e₂ 〉 = 〈 A(αv + βw), e₂ 〉 = 〈 λ₁αv + λ₂βw, γv + δw 〉
	= λ₁αγ〈 v, v 〉 + λ₂βδ〈 w, w 〉 = λ₁αγ + λ₂βδ.

Dies zeigt, dass a₁₂ = a₂₁. Folglich ist A symmetrisch.

3. Die Diagonalisierung

Satz (Diagonalisierung symmetrischer Matrizen)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 symmetrisch und σ  ∈  { −1, 1 }. Dann gibt es eine orthogonale Matrix S mit det(S) = σ und eine Diagonalmatrix D derart, dass

A = S⁻¹DS, D = SAS⁻¹.

Beweis

Seien λ₁ und λ₂ die Eigenwerte von A und seien v und w zugehörige normierte Eigenvektoren. Wir setzen

D = diag(λ₁, λ₂) = $( \begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} )$ , S = (v, w) = $( \begin{matrix} v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{matrix} )$ .

Dann ist S orthogonal, sodass S⁻¹ = S^t = (v; w). Durch einen Austausch von w durch −w können wir das Vorzeichen von det(S) einstellen. Es gilt

A S⁻¹ = A (v; w) = (Av; Aw) = (λ₁v; λ₂w), sodass

S A S⁻¹ = (v, w) (λ₁v; λ₂w) = $( \begin{matrix} λ_{1} 〈 v, v 〉 & λ_{2} 〈 v, w 〉 \\ λ_{1} 〈 w, v 〉 & λ_{2} 〈 w, w 〉 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} )$ = D.

Durch Multiplikation mit S⁻¹ von links und S von rechts erhalten wir

A = S⁻¹ D S = S^t D S.

Eine Zerlegung A = S⁻¹DS wie im Satz heißt eine Diagonalisierung von A. In der Diagonale von D stehen die Eigenwerte und die Zeilen von S sind zugehörige normierte und orthognale Eigenvektoren v, w von A. Ein Vektor u = (x, y) hat bzgl. der Basis (v, w) die Koordinaten x′, y′ mit u = x′ v + y′ w, sodass

(+) x e₁ + y e₂ = u = x′ v + y′ w.

Es gilt

(x, y) = u = (v; w) (x′, y′) = S⁻¹ (x′, y′), (x′, y′) = S (x, y),

sodass S und S⁻¹ die Koordinaten (x, y) und (x′, y′) ineinander umrechnen. Wegen

S⁻¹ D (x′, y′) = S⁻¹ D S (x, y) = A (x, y)

hat A(x, y) bzgl. der Basis (v, w) die Koordinaten D(x′, y′) = (λ₁x′, λ₂ y′). Aus der Sicht der Basis (v, w) bewirkt A eine Streckung um λ₁ entlang der Achse von v und λ₂ entlang der Achse von w. Der Spektralsatz besagt damit, dass jede symmetrische Matrix eine Diagonalmatrix ist, wenn wir ein geeignetes Koordinatensystem aus orthogonalen und normierten Basisvektoren wählen.

4. Die Singulärwertzerlegung

Satz (Singulärwertzerlegung)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar. Weiter sei AA^t = S⁻¹DS mit S orthogonal und D = diag(λ₁, λ₂). Weiter sei

T = D^1/2SA^−t, wobei A^−t = (A⁻¹)^t, D^1/2 = diag(σ₁, σ₂) = diag( $\sqrt{λ_{1}}$ , $\sqrt{λ_{2}}$ ).

Dann ist T orthogonal und es gilt

A = S⁻¹D^1/2T.(Singulärwertzerlegung von A)

Beweis

Die Matrix T ist orthogonal, da

T^t T = A⁻¹S⁻¹D^1/2D^1/2SA^−t = A⁻¹AA^tA^−t = E₂ E₂ = E₂.

Weiter ist

A = S⁻¹DSA^−t = S⁻¹D^1/2D^1/2SA^−t = S⁻¹D^1/2T.

Die Zerlegung A = S⁻¹D^1/2T ist als Singulärwertzerlegung von A bekannt und die Diagonaleinträge σ₁, σ₂ von D^1/2 heißen die Singulärwerte von A. Die Matrix A wird in drei Teile wie bei der Diagonalisierung zerlegt, wobei die äußeren Matrizen immer noch orthogonal, aber im Allgemeinen nicht mehr invers zueinander sind. Mehr können wir nicht erreichen, da wir A nicht als symmetrisch voraussetzen.

Matrizen und Ellipsen

Dass das Bild des Einheitskreises unter einer invertierbaren Matrix A eine Ellipse ist, lässt sich mit Hilfe der Singulärwertzerlegung A = S⁻¹D^1/2T anschaulich einsehen: Wir nehmen an, dass S und T Drehungen sind (die anderen Fälle sind analog). Dann wird der Einheitskreis zunächst mit T gedreht. Seine Form bleibt dabei unverändert. Nun wird der gedrehte Kreis durch Anwendung von D^1/2 in x- und y-Richtung um die positiven Skalare σ₁ bzw. σ₂ gestreckt und so zur achsenparallelen Ellipse E_{σ₁, σ₂}. Schließlich wird diese Ellipse mit S⁻¹ zur Ellipse E = A[ K ] gedreht. Die Spaltenvektoren von S⁻¹ sind Halbachsenrichtungen und die Singulärwerte von A die Längen der Halbachsen von E.