3. Vorlesung Polynome und rationale Funktionen

1. Polynome

Definition (Polynom)

Seien a₀, …, a_n  ∈  ℝ. Dann heißt die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f (x) = a_n xⁿ + a_n − 1 x^n − 1 + … + a₀ für alle x  ∈  ℝ

das (reelle) Polynom oder die (reelle) Polynomfunktion mit den Koeffizienten a₀, …, a_n.

(a)	Ist a_n ≠ 0, so heißt n der Grad und a_n der Leitkoeffizient des Polynoms. Gilt a_n = 1, so heißt das Polynom normiert.

(b)	Sind alle Koeffizienten gleich 0, so heißt f das Nullpolynom. Dem Nullpolynom ordnen wir den symbolischen Grad −∞ zu.

(c)	Ein Polynom vom Grad 0 oder −∞ heißt ein konstantes Polynom.

2. Die Polynomdivision

Satz (Polynomdivision mit Rest)

Seien f, g : ℝ → ℝ Polynome, und sei g nicht das Nullpolynom. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q und r mit

f = q g + r und deg(r) < deg(g).

Der Grad des Polynoms q ist die Differenz der Grade von f und g, da

deg(f) = deg(q g + r) = deg(q g) = deg(q) + deg(g)

Beweis

zur Existenz:

Sei f = f₀. Wir werden Polynome q_i und f_i definieren mit

f₀	= q₁ g + f₁,	deg(f₁) < deg(f₀),
f₁	= q₂ g + f₂,	deg(f₂) < deg(f₁),
…
f_m − 1	= q_m g + f_m,	deg(f_m) < deg(g) ≤ deg(f_m − 1).

Dann gilt

f₀ = q₁ g + f₁ = (q₁ + q₂) g + f₂ = … = (q₁ + … + q_m) g + f_m,

sodass die Summe der q_i ein Polynom q und r = f_m wie gewünscht sind.

Polynome q_i und f_i mit diesen Eigenschaften definieren wir rekursiv durch

(+) q_i = c_i x^k_i, f_i = f_i − 1 − q_i g,

wobei c_i der Quotient der Leitkoeffizienten und k_i die Differenz der Grade von f_i − 1 und g ist.

zur Eindeutigkeit:

Ist f = q g + r mit deg(r) < deg(g), so gilt (q − q) g = r − r und damit

deg(q − q) + deg(g) = deg(r − r) < deg(g).

Also ist q − q das Nullpolynom, sodass q = q und folglich r = r.

3. Linearfaktoren

Satz (Abspaltung eines Linearfaktors)

Sei f : ℝ → ℝ ein nichtkonstantes Polynom, und sei x₀ eine Nullstelle von f. Dann gibt es ein eindeutiges Polynom q : ℝ → ℝ mit deg(q) = deg(f) − 1 und

f (x) = (x − x₀) q(x) für alle x  ∈  ℝ.

Beweis

Wir dividieren f durch das Polynom x − x₀. Nach dem Satz über die Polynomdivision gibt es eindeutig bestimmte Polynome von q und r mit

(1)	f = q (x − x₀) + r,

(2)	deg(r) < deg(x − x₀) = 1.

(3)	deg(q) = deg(f) − 1.

Nach (2) ist r ein konstantes Polynom. Nach (1) gilt

0 = f (x₀) = q(x₀)(x₀ − x₀) + r(x₀) = r(x₀).

Da r konstant ist und in x₀ eine Nullstelle besitzt, ist r das Nullpolynom. Nach (1) ist damit f = (x − x₀) q.

Korollar (Anzahl der Nullstellen eines Polynoms)

Ein Polynom f : ℝ → ℝ vom Grad n ≥ 0 hat höchstens n Nullstellen.

Definition (algebraische Vielfachheit einer Nullstelle)

Sei f ein nichtkonstantes Polynom, und sei x₀ eine Nullstelle von f. Weiter sei m ≥ 1 derart, dass ein Polynom g existiert mit

f = (x − x₀)^m g, g(x₀) ≠ 0.

Dann heißt m die algebraische Vielfachheit der Nullstelle x₀ von f. Wir sagen auch, dass f bei x₀ eine m-fache Nullstelle besitzt.

4. Geometrische Summe und geometrische Reihe

Sei q  ∈  ℝ. Die Polynome xⁿ − qⁿ besitzen für alle n ≥ 1 die Nullstelle q. Abspalten von x − q ergibt:

x − q	= (x − q) 1
x² − q²	= (x − q) (x + q)
x³ − q³	= (x − q) (x² + x q + q²)
x⁴ − q⁴	= (x − q) (x³ + x² q + x q² + q³)
	…
x^n + 1 − q^n + 1	= (x − q) (xⁿ + x^n − 1q¹ + … + x¹q^n − 1 + qⁿ)
	…

Setzen wir speziell x = 1, so erhalten wir

1 − q^n + 1 = (1 − q) (1 + q¹ + … + q^n − 1 + qⁿ) für alle n  ∈  ℕ.

Dies zeigt:

Satz (geometrische Summe)

Für alle n  ∈  ℕ und q  ∈  ℝ mit q ≠ 1 gilt:

1 + q + q² + … + qⁿ = ^{1 − q^n + 1}_1 − q.

Für |q| < 1 konvergiert die rechte Seite, wenn n gegen unendlich strebt:

Satz (geometrische Reihe)

Für alle q  ∈  ℝ mit |q| < 1 gilt

1 + q + q² + … + qⁿ + … = ¹_1 − q.

5. Rationale Funktionen

Definition (rationale Funktion, Definitionslücke)

Seien f, g : ℝ → ℝ reelle Polynome, g ≠ 0, und sei P = { x  ∈  ℝ | g(x) ≠ 0 }. Dann heißt die Funktion h : P → ℝ mit

h(x) = ^f (x)_g(x) für alle x  ∈  P

die durch f und g definierte (reelle) rationale Funktion. Wir bezeichnen sie mit f/g. Die Nullstellen von g heißen die Definitionslücken von f/g.

Beispiele

(1)	Jedes Polynom f ist eine rationale Funktion, da f = f/1.

(2)	1/x ist eine rationale Funktion auf ℝ − { 0 }.

(3)	1/(x² + 1) ist eine rationale Funktion auf ℝ.

6. Polstellen

Das Verhalten einer rationalen Funktion f/g bei Annäherung an eine Definitionslücke x₀ hängt vom Nullstellenverhalten des Zählers und Nenners bei x₀ ab:

(1)	Ist x₀ keine Nullstelle von f oder die algebraische Vielfachheit k von x₀ bzgl. f kleiner als die algebraische Vielfachheit m von x₀ bzgl. g, so gilt lim_x → x₀ f (x)/g(x)  ∈  { ∞, −∞ }.

(2)	Ist die algebraische Vielfachheit von x₀ bzgl. f größergleich derjenigen von x₀ bzgl. g, so gilt lim_x → x₀ f (x)/g(x)  ∈  ℝ.

Definition (Vielfachheit einer Polstelle, stetig hebbare Definitionslücke)

Im Fall (1) heißt x₀ eine (m − k)-fache Polstelle von f/g, wobei wir k = 0 setzen, falls x₀ keine Nullstelle von f ist. Im Fall (2) heißt x₀ eine stetig hebbare Definitionslücke von f/g.

Beispiel

Die rationale Funktion f : ℝ − { 1, 2 } → ℝ mit

f (x) = ^x² − 1_{(x − 1)(x − 2)} = ^{(x − 1) (x + 1)}_{(x − 1)(x − 2)} für alle x  ∈  ℝ − { 1, 2 }

besitzt eine stetig hebbare Definitionslücke bei 1 und eine einfache Polstelle bei 2. Es gilt f (x) = (x + 1)/(x − 2) für alle x ≠ 1, 2. Wir setzen die Funktion durch „f (1) = (1 + 1)/(1 − 2) = −2“ stetig zu einer auf ℝ − { 2 } definierten Funktion fort, die wir der Einfachheit halber wieder f nennen.

7. Vollständiger Definitionsbereich und Kürzen

Haben zwei Polynome f und g keine gemeinsamen Nullstellen, so sagen wir, dass die rationale Funktion f/g einen vollständigen Definitionsbereich besitzt. Jede Definitionslücke einer solchen Funktion ist eine Polstelle. Allgemeiner können wir nicht nur gemeinsame Linearfaktoren, sondern gemeinsame Teilerpolynome kürzen. Haben f und g keine gemeinsamen Teilerpolynome, so nennen wir die rationale Funktion f/g vollständig gekürzt.

Konvention

Wir identifizieren rationale Funktionen f₁/g₁ und f₂/g₂, die durch Kürzen ineinander übergehen.

Beispiel

Mit dieser Vereinbarung können wir schreiben

^x(x + 1)_x = ^x + 1₁ = x + 1 = ^{(x − 1) (x + 1)²}_{(x − 1) (x + 1)} = ^{(x − 1) (x + 1)²}_x² − 1.

8. Die Partialbruchzerlegung

Unter einer Partialbruchzerlegung verstehen wir das additive Abspalten von Polstellen.

Beispiel

Wir suchen für die rationale Funktion 1/(x(x + 1)) eine Darstellung der Form

¹_x(x + 1) = ^a_x + ^b_x + 1.

Um a und b zu bestimmen, schreiben wir

^a_x + ^b_x + 1 = ^{a(x + 1) + bx}_x(x + 1) = ^{(a + b)x + a}_x(x + 1).

Wir suchen also a, b mit (a + b)x + a = 1 = 0 x + 1. Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir das Gleichungssystem a + b = 0, a = 1, das durch a = 1, b = −1 eindeutig gelöst wird. Wir erhalten also die Partialbruchzerlegung

¹_{x (x + 1)} = ¹_x + ⁻¹_x + 1.

Satz (Partialbruchzerlegung, einfacher Pol)

Sei f/g eine rationale Funktion mit deg(f) < deg(g). Weiter sei x₀ eine einfache Nullstelle von g, und es sei

g = (x − x₀) g*, g*(x₀) ≠ 0.

Dann gibt es ein a  ∈  ℝ und ein Polynom f* mit deg(f*) < deg(g*), sodass

^f_g = ^a_x − x₀ + ^f*_g*.

Genauer sind a und f* eindeutig bestimmt und es gilt

(+) a = ^f (x₀)_g*(x₀), f* = ^{f − a g*}_x − x₀.

Beweis

Die gesuchte Darstellung ist äquivalent zu

(#) f = a₁ g* + (x − x₀) f*.

Wir definieren nun a und f* durch (+). Einsetzen zeigt, dass (#) gilt. Setzen wir umgekehrt x = x₀ in (#), so erhalten wir die Formel für a und aus dieser ergibt sich die Formel für f*. Dies zeigt die Existenz und Eindeutigkeit. Nach Definition von f* gilt

deg(f*) ≤ max(deg(f), deg(g*)) − 1 < deg(g) − 1 = deg(g*).

Durch Induktion nach dem Grad k eines Pols erhalten wir:

Satz (Partialbruchzerlegung, mehrfacher Pol)

Sei f/g eine rationale Funktion mit deg(f) < deg(g). Weiter sei x₀ eine k-fache Nullstelle von g, und es sei

g = (x − x₀)^k g*, g*(x₀) ≠ 0.

Dann gibt es eindeutig bestimmte a₁, …, a_k  ∈  ℝ und ein Polynom f* mit deg(f*) < deg(g*), sodass

^f_g = ^f_{(x − x₀)^k g*} = ^a_k_{(x − x₀)^k} + … + ^a₁_x − x₀ + ^f*_g*.