7. Vorlesung Differentialquotienten und lineare Approximation

1. Differenzenquotienten

Definition (Differenzenquotient, Sekante)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Für alle x  ∈  P mit x ≠ p heißt die reelle Zahl

a(p, x) = ^{f (x) − f (p)}_x − p

der Differenzenquotient von f für p und x. Die eindeutige Gerade g : ℝ → ℝ durch (p, f (p)) und (x, f (x)) heißt die durch die Stellen p und x definierte Sekante von f.

2. Differentialquotienten

Definition (Differentialquotient, Ableitung)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Im Fall der Existenz von

a = lim_x → p a(x, p) = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p

heißt die Funktion f an der Stelle p differenzierbar und a die Ableitung oder der Differentialquotient von f an der Stelle p.

Notation

Ist a die Ableitung von f an der Stelle p, so schreiben wir

a = f ′(p) = Df (p) = ${\frac{d}{dx} f (x)|}_{x = p}$ = ${\frac{df (x)}{dx}|}_{x = p}$ = ^df (x)_dx(p).

Beispiele

(1)	Ist f : ℝ → ℝ mit f (x) = c für alle x, so gilt für alle p  ∈  ℝ: f ′(p) = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_x → p ^c − c_x − p = 0.

(2)	Sei n ≥ 1 und f : ℝ → ℝ mit f (x) = xⁿ für alle x. Weiter sei p  ∈  ℝ. Dann gilt für alle x  ∈  ℝ (geometrische Summe): xⁿ − pⁿ = (x − p)(x^n − 1 p⁰ + … + x⁰ p^n − 1). Damit ergibt sich f ′(p) = lim_x → p ^{xⁿ − pⁿ}_x − p = lim_x → p (x^n − 1 p⁰ + … + x⁰ p^n − 1) = n p^n − 1.

(3)	Ist f : ℝ → ℝ mit f (x) = \|x\| für alle x, so ist x an der Stelle p = 0 nicht differenzierbar, da ^\|x\| − 0_x − p = 1 für x > 0, ^\|x\| − 0_x − p = −1 für x < 0.

Die Setzung h = x − p ergibt:

h-Formulierung des Differentialquotienten

lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_h → 0 ^{f (p + h) − f (p)}_h

3. Tangenten und lineare Approximation

Definition (Tangente)

Sei f : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Dann heißt die Gerade g: ℝ → ℝ mit

g(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) für alle x  ∈  ℝ

die durch die Stelle p definierte Tangente von f oder die Tangente von f durch den Punkt (p, f (p)).

Satz (linearer Approximationssatz)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Dann sind äquivalent:

(1)	f ist differenzierbar in p.

(2)

Es gibt ein a  ∈  ℝ und eine Funktion r : P → ℝ mit den Eigenschaften:

(i)	f (x) = f (p) + a (x − p) + r(x) für alle x  ∈  P,

(ii)	lim_x → p ^r(x)_x − p = 0.

Gilt (2), so ist a = f ′(p).

Die Idee ist: In der Nähe von p ist die Funktion f ihre Tangente plus ein kleiner Rest.

Beweis

(1) impliziert (2):

Sei also f differenzierbar an der Stelle p. Wir setzen a = f ′(p) und definieren r : P → ℝ durch

r(x) = f (x) − f (p) − a (x − p) für alle x  ∈  P

Dann gilt (i) nach Definition. Weiter gilt auch (ii), da

lim_x → p ^r(x)_x − p	= lim_x → p (^{f (x) − f (p)}_x − p − a ^x − p_x − p)
	= lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p − a lim_x → p ^x − p_x − p
	= a − a = 0.

(2) impliziert (1) (und Zusatz):

Sind a  ∈  ℝ und r : P → ℝ wie in (2), so gilt

lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_x → p (a + ^r(x)_x − p) = a + 0 = a.

Dies zeigt, dass f an der Stelle p differenzierbar ist mit f ′(p) = a.

4. Die Landau-Notation

Landau-Notation oder klein-o-Notation

Ein Ausdruck

o(x − p) für x → p

steht für eine Funktion r : P → ℝ (mit einem kontextabhängigen Definitionsbereich P) mit der Eigenschaft

lim_x → p ^r(x)_x − p = 0.

Ist allgemeiner g : P → ℝ eine Funktion mit g(x) ≠ 0 für alle x ≠ p, so steht

o(g(x)) für x → p

für eine Funktion r : P → ℝ mit

lim_x → p ^r(x)_g(x) = 0.

Satz (linearer Approximationssatz in Landau-Notation)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Dann sind äquivalent:

(1)	f ist differenzierbar in p.

(2)	Es gibt ein a  ∈  ℝ mit f (x) = f (p) + a (x − p) + o(x − p) für x → p.

Gilt (2), so ist a = f ′(p).

5. Differenzierbarkeitsbegriffe

Definition (Differenzierbarkeit)

Eine Funktion f : P → ℝ heißt differenzierbar, falls f ′(x) für alle x  ∈  P existiert. Wir nennen die Funktion f ′ : P → ℝ die erste Ableitung von f.

Existiert die erste Ableitung, so stellt sich die Frage, ob f ′ : P → ℝ wieder differenzierbar ist. Das folgende Beispiel zeigt, dass dies nicht immer der Fall ist:

Beispiel

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch f (x) = x³ für x ≥ 0 und f (x) = x² für x < 0. Dann ist f differenzierbar mit f ′(x) = 3x² für x ≥ 0 und f (x) = 2x für x < 0. Aber die Funktion f ′ : ℝ → ℝ ist nicht differenzierbar an der Stelle 0.

In vielen Fällen ist ein wiederholtes Ableiten möglich. Wir definieren:

Definition (mehrfache Differenzierbarkeit)

Sei f : P → ℝ. Wir setzen f ⁽⁰⁾ = f und definieren rekursiv solange möglich

f ^(n + 1) = f ⁽ⁿ⁾′ für alle n  ∈  ℕ.

Ist n  ∈  ℕ und existiert f ⁽ⁿ⁾, so heißt f n-mal differenzierbar und f ⁽ⁿ⁾ die n-te Ableitung von f.