Übungen

Übung 1

(a)

Bestimmen Sie die Steigungsformen einer Geraden g : ℝ → ℝ durch zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2), x1 ≠ x2 in den Entwicklungspunkten x1 und x2.

(b)

Nehmen Sie nun an, dass y1 und y2 die Werte einer Funktion f : ℝ → ℝ an den Stellen x1 und x2 sind. Schreiben Sie die Steigungsformen für diese Situation auf und erstellen ein zugehöriges Diagramm.

Übung 2

Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion. Es gebe eine Konstante c  ∈  ℝ mit der Eigenschaft:

(+)  Für alle x, y  ∈  ℝ mit x ≠ y ist f (x) − f (y)x − y = c.

Zeigen Sie, dass f eine Gerade ist. Betrachten Sie nun die schwächere Eigenschaft

(++)  Für alle x  ∈  ℝ ist f(x + 1) − f (x)  =  f (x + 1) − f (x)1 = c.

Folgt hieraus ebenfalls, dass f eine Gerade ist?

Übung 3

Seien g, h : ℝ → ℝ Geraden. Weiter sei f = h ∘ g, d. h. es gilt

f (x)  =  h(g(x))  für alle x  ∈  ℝ.

Zeigen Sie, dass f eine Gerade ist. Finden Sie eine Bedingung für f (0) = 0.

Übung 4

Für welche Geraden g : ℝ → ℝ gilt g(x + y) = g(x) + g(y) für alle x, y  ∈  ℝ?

Übung 5

Sei g : ℝ → ℝ eine Gerade. Bestimmen Sie:

(a)

die Gerade g1 : ℝ → ℝ, deren Graph der an der x-Achse gespiegelte Graph von g ist,

(b)

die Gerade g2 : ℝ → ℝ, deren Graph der an der y-Achse gespiegelte Graph von g ist,

(c)

die Gerade g3 : ℝ → ℝ, deren Graph der am Nullpunkt gespiegelte Graph von g ist.

Übung 6

Wann besitzen zwei Geraden g, h : ℝ → ℝ genau einen Schnittpunkt? Finden Sie ein Kriterium für die vier Parameter der Geraden und beweisen Sie es. Leiten Sie zudem im Fall der eindeutigen Existenz eine Formel für den Schnittpunkt her.

Übung 7

Wie kann man feststellen, ob drei Punkte (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) der Ebene mit paarweise verschiedenen x1, x2, x3 auf einer Geraden g : ℝ → ℝ liegen? Diskutieren Sie verschiedene Möglichkeiten.

Übung 8

Sei g : ℝ → ℝ eine Gerade, und seien x1, x2  ∈  ℝ mit x1 ≠ x2. Zeigen Sie, dass sich g eindeutig als Summe zweier Geraden g1, g2 : ℝ → ℝ mit g1(x1) = 0 und g2(x2) = 0 darstellen lässt. Bestimmen Sie zudem die Koeffizienten der Darstellung

g(x)  =  c1 (x − x1)  +  c2 (x − x2)  für alle x  ∈  ℝ.

Gewinnen Sie hieraus eine neue Konstruktionsmöglichkeit der eindeutigen Geraden durch zwei gegebene Punkte (x1, y1) und (x2, y2) mit x1 ≠ x2. Zeichnen Sie ein Diagramm zur Illustration.