Die Einheitsparabel und die Wurzelfunktion
Die einfachste Parabel ist:
Definition (Einheitsparabel)
Die Parabel sq : ℝ → ℝ mit sq(x) = x2 für alle x ∈ ℝ heißt die Einheitsparabel oder Normalparabel (mit sq für engl. square).
Die Einheitsparabel ist eine gerade Funktion und verläuft durch die Punkte
(0, 0), (1/2, 1/4), (1, 1), (2, 4).
Die Einheitsparabel
Auf dem Intervall [ 0, ∞ [ ist die Funktion streng monoton steigend, sodass wir sie dort umkehren können:
Definition (Quadratwurzel)
Die Umkehrfunktion der auf das Intervall [ 0, ∞ [ eingeschränkten Einheitsparabel heißt die Quadratwurzelfunktion. Wir bezeichnen sie mit
sqrt : [ 0, ∞ [ → [ 0, ∞ [ (für engl. square root).
Weiter schreiben wir auch anstelle von sqrt(x). Für alle x ≥ 0 heißt sqrt(x) die Quadratwurzel oder kurz Wurzel von x.
Die Wurzelfunktion ist nur für nichtnegative reelle Zahlen definiert und sie besitzt nur nichtnegative Werte. Nach Definition als Umkehrfunktion der auf [ 0, ∞ [ eingeschränkten Quadratfunktion gilt
sqrt(sq(x)) = x = sq(sqrt(x)) für alle x ∈ [ 0, ∞ [
oder gleichwertig
= x = ()2 für alle x ∈ [ 0, ∞ [.
Weiter ist die Wurzel aus x2 wegen x2 ≥ 0 zwar für alle reellen Zahlen x definiert, sie ergibt aber im Allgemeinen nicht x, sondern den Betrag von x:
= |x| für alle x ∈ ℝ.(Formel vom nicht vergessenen Betrag)
Es ist eine zeitlose Fehlerquelle, den Betrag zu vergessen. Der Leser möge sich die Beziehung anhand von Beispielen vor Augen führen: Für x = −2 gilt x2 = 4 und die Wurzel aus 4 ist 2 und nicht −2.
Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion des rechten Astes der Einheitsparabel
Beim Rechnen mit Wurzeln ist die Vorzeichenfunktion sgn : ℝ → { −1, 0, 1 } hilfreich, die durch
sgn(x) = 1 für x > 0, sgn(x) = −1 für x < 0, sgn(0) = 0
definiert ist (mit sgn für lateinisch signum oder engl. sign). Es gilt
x = sgn(x) |x| und |x| = x sgn(x) für alle x ∈ ℝ.
Für alle x ∈ ℝ und y ≥ 0 gilt damit
= = |x| = sgn(x) x .