Brennpunkt und Leitlinie
Wir besprechen noch einige geometrische Eigenschaften von Parabeln. Dabei konzentrieren wir uns auf Parabeln der Form ax2.
Definition (Brennpunkt und Leitlinie)
Der Brennpunkt einer Parabel ax2 ist der Punkt F = (0, 1/(4a)). Die Leitlinie L von ax2 ist die zur x-Achse parallele Gerade durch den Punkt −F.
Statt Brennpunkt ist auch Fokuspunkt oder kurz Fokus üblich. Die Leitlinie ist auch als Direktrix bekannt. Die beiden Objekte sind durch die folgenden Eigenschaften ausgezeichnet:
(1) | Im Brennpunkt einer Parabel ax2 laufen alle zur y-Achse parallelen Strahlen zusammen, die an der Tangente der Parabel reflektiert werden. |
(2) | Die Parabel ax2 ist die Menge aller Punkte P der Ebene, deren Abstand zu F gleich ihrem Abstand zu L ist. Dabei ist der Abstand von P und L definiert als die Länge des Lotes von P auf L. |
Die folgenden Diagramme illustrieren diese Eigenschaften. Ihr Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.
Der Brennpunkt F = (0, 1/4) der Einheitsparabel
Die Leitlinie L der Einheitsparabel