Das Problem der Winkeldrittelung
In der Geschichte der Mathematik spielen die drei klassischen Probleme der antiken Geometrie eine wichtige Rolle:
A) | Quadratur des Kreises |
B) | Winkeltrisektion |
C) | Würfelverdoppelung (Delisches Problem) |
Alle Probleme stellen die Frage, ob es möglich ist, eine bestimmte geometrische Größe mit Hilfe von Zirkel und Lineal zu konstruieren. Die Quadratur des Kreises ist die Aufgabe, einen Kreis mit Hilfe von Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln. Die Winkeltrisektion verlangt für einen beliebig vorgegebenen Winkel α die Konstruktion von α/3. Und bei der Würfelverdoppelung ist zu einem Würfel der Kantenlänge a ein zweiter Würfel mit dem doppelten Volumen (also der Kantenlänge 3) zu erzeugen. Erst im 19. Jahrhundert konnte gezeigt werden, dass die drei Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal nicht lösbar sind. Beteiligt an den Unmöglichkeitsnachweisen waren insbesondere Carl Friedrich Gauß, Niels Henrik Abel, Évariste Galois, Pierre-Laurant Wantzel und Ferdinand von Lindemann. Die entwickelten algebraischen Methoden erlauben eine Detailanalyse der Problematik. So ergibt sich zum Beispiel, dass die Drittelung des in jedem gleichseitigen Dreieck auftauchenden Winkels π/3 nicht möglich ist. Bereits Descartes konnte jedoch zeigen, dass die Winkeltrisektion gelingt, wenn zusätzlich zu Zirkel und Lineal Parabeln verwendet werden dürfen (genauer genügt die Einheitsparabel). Die folgende Konstruktion verwendet die Parabel 2x2:
Winkeldrittelung mit Hilfe einer Parabel
Wir starten mit einem Punkt
P = (x, y) = (cos α, sin α)
auf dem Einheitskreis mit x, y > 0. Ziel ist, den Winkel α zu dritteln.
(1) | Wir konstruieren den Punkt Q = (x/2, 1). |
(2) | Nun bilden wir den Kreis mit dem Mittelpunkt Q durch den Nullpunkt. Der Schnitt dieses Kreises mit dem rechten Ast der Parabel 2x2 liefert den Punkt R. |
(3) | Die Senkrechte durch R trifft den Einheitskreis im Punkt S. |
Man kann zeigen, dass der Punkt S den Winkel α/3 mit der positiven x-Achse einschließt.
Das folgende Diagramm visualisiert die Konstruktion. Dabei ist α = π/3, sodass sich ein Winkel mit 20 Grad ergibt.
Winkeldrittelung mit Hilfe der Parabel 2x2
Auch das Problem der Würfelverdoppelung lässt sich mit erweiterten Hilfsmitteln lösen. Gegeben a > 0 kann eine Strecke der Länge 3 mit Hilfe einer Parabel und einer Hyperbel konstruiert werden. Eine derartige Konstruktion wird bereits dem antiken Mathematiker Menaichmos zugeschrieben. Wesentlich schwieriger ist dagegen das Problem der Quadratur des Kreises. Parabeln, Hyperbeln, Ellipsen und noch weitaus allgemeinere algebraische Kurven reichen nicht aus, eine Strecke der Länge π zu konstruieren!
Näherungskonstruktionen
Aus der Winkeldrittelung mit Hilfe einer Parabel lassen sich beliebig genaue Näherungslösungen gewinnen, die nur Zirkel und Lineal verwenden. Hierzu wird der rechte Ast der Parabel 2x2 für ein beliebiges n ≥ 1 durch den Streckenzug ersetzt, der durch die n + 1 Punkte
(tk, 2tk2) mit t0 = 0, t1 = 1/n, t2 = 2/n, …, tn = 1.
definiert wird. Dieser Streckenzug ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Eine Konstruktion, die für eine Parabel ax2 mit einer beliebigen Öffnung a geeignet ist, ist die folgende:
(1) | Gegeben sei ein Punkt P = (p, q) mit p > 0 und ein n ≥ 1. Wir konstruieren n + 1 Punkte auf der Parabel ax2 mit der Öffnung a = q/p2. Zwei der Punkte sind der Nullpunkt O und der Punkt P. |
(2) | Wir setzen P0 = (p, 0) und unterteilen die Strecken OP0 und P0P in je n gleichlange Teile. |
(3) | Wir zeichnen zur y-Achse parallele Geraden durch die Teilpunkte von OP0. Weiter verbinden wir den Nullpunkt O mit den Teilpunkten von P0P durch Geradenstücke. |
(4) | Die Schnittpunkte der einander entsprechenden Geraden aus (3) und (4) liegen auf der Parabel a x2 (Beweis als Übung). |
Konstruktion von Punkten auf einer Parabel der Öffnung a bei gegebenem Punkt P. Auf der linken Seite ist gespiegelt der approximierende Steckenzug gezeigt.
Führen wir die Winkeldrittelung für α = π/3 mit einer approximierten Parabel 2x2 durch, so erhalten wir in Grad angegeben die folgenden Winkel:
| 20,854763… | für n = 4 |
| 20,279338… | für n = 8 |
| 20,009275… | für n = 16 |
| 20,004528… | für n = 32 |
| 20,002107… | für n = 64 |
| 20,000884… | für n = 128 |