Koeffizientenvergleich für Polynome
Anschaulich klar oder zumindest nicht überraschend ist:
Satz (Eindeutigkeit der Nullfunktion)
Seien a0, …, an ∈ ℝ. Es gelte
anxn + … + a1x + a0 = 0 für alle x ∈ ℝ.
Dann ist ai = 0 für alle i ≤ n.
Es gibt viele Beweise für diesen Satz, aber er ist dennoch nicht vollkommen elementar. In der Algebra werden Polynome nicht nur aus reellen Zahlen gebildet und es zeigt sich, dass der Satz nicht mehr in allen Fällen gültig ist. Man muss dann zwischen Polynomen (in der Algebra definiert als Folgen von Koeffizienten) und den durch sie definierten Auswertungsfunktionen unterscheiden. Wir betrachten einige Argumente für ℝ:
Beweis durch wiederholtes Ableiten
Einsetzen von 0 zeigt a0 = 0. Bildung der ersten Ableitung und Einsetzen von 0 liefert a1 = 0. Durch Bildung der zweiten Ableitung und Einsetzen von 0 erhalten wir a2 = 0. So fortfahrend ergibt sich ai = 0 für alle i.
Beweis durch Ausklammern und ein Stetigkeitsargument
Einsetzen von 0 zeigt, dass a0 = 0. Ausklammern von x liefert, dass
x (anxn − 1 + … + a1) = 0 für alle x ∈ ℝ, sodass
anxn − 1 + … + a1 = 0 für alle x ≠ 0.
Ein Polynom, das an allen von Null verschiedenen Stellen gleich 0 ist, muss aus Stetigkeitsgründen das Nullpolynom sein. Damit ist a1 = 0 (wieder durch Einsetzen von 0). So fortfahrend erhalten wir ai = 0 für alle i.
Beweis durch Limesbildung
Ein nichtkonstantes Polynom strebt gegen ∞ oder −∞, wenn x gegen ∞ strebt. Damit ist n ≤ 0. Aus a0 = 0 (Einsetzen der 0) folgt die Behauptung.
Einen weiteren Beweis werden wir später kennenlernen. Eine wichtige Folgerung, die wir in einfachen Spezialfällen bereits verwendet haben, ist:
Korollar (Koeffizientenvergleich)
Seien a0, …, an, b0, …, bn ∈ ℝ. Es gelte
anxn + … + a1x + a0 = bnxn + … + b1x + b0 für alle x ∈ ℝ.
Dann ai = bi für alle i ≤ n.