Die geometrische Summe und die geometrische Reihe

 Sei q  ∈  ℝ. Dann haben die Polynome

x − q,  x² − q²,  x³ − q³,  …,  xⁿ − qⁿ,  …

die Nullstelle q, sodass wir jeweils den Linearfaktor x − q abspalten können:

Der Leser multipliziere die rechten Seiten aus, um sich vor Augen zu führen, wie sich alle bis auf zwei Summanden gegenseitig aufheben. Es liegt eine sog. Teleskop-Summe vor.

 Setzen wir speziell x = 1, so erhalten wir

1 − q^n + 1  =  (1 − q) (1 + q¹ + … + q^n − 1 + qⁿ)  für alle n  ∈  ℕ.

Dies zeigt:

Die Formel des Satzes können wir auch in Summennotation schreiben:

∑_k ≤ n q^k  =  ^{1 − qn + 1}_1 − q.

Sei nun q  ∈  ℝ mit |q| < 1. Dann gilt (vgl. die Übungen):

(+)  lim_n → ∞ q^n + 1  =  lim_n → ∞ qⁿ  =  0.

Damit erhalten wir:

Das erste Gleichheitszeichen ist als Definition der unendlichen Summe auf der linken Seite zu lesen. Beim zweiten Gleichheitszeichen verwenden wir die Formel für die geometrische Summe und beim dritten den Grenzwert (+). Wir besprechen unendliche Summen später genauer, für jetzt genügt erneut ein intuitiver Grenzwertbegriff.

 Wir halten das Ergebnis als Satz fest:

In der unendlichen Summennotation können wir den Satz in der Form

∑_{n  ∈  ℕ} qⁿ  =  ¹_1 − q   für alle q  ∈  ] −1, 1 [

notieren. Statt ∑_{n  ∈  ℕ} schreiben wir auch ∑_n ≥ 0, ∑_n oder ${\sum \text{}}_{\mathrm{n}=0}^{\infty }$. Ob man die Notation 1 + q + q² + … + qⁿ + … oder ∑_n qⁿ bevorzugt, ist wie bei den endlichen Summen letztendlich Geschmackssache. Nützlich ist auch die Variante

∑_n ≥ 1 qⁿ  =  ¹_1 − q − 1  =  ^q_1 − q  für alle q  ∈  ] −1, 1 [

der Summation ab n = 1.

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