Die Partialbruchzerlegung

Sind f und g Polynome mit g ≠ 0, so zeigt die Polynomdivision f = q g + r von f durch g, dass wir die rationale Funktion f/g schreiben können in der Form

f/g = q + r/g, mit deg(r) < deg(g).

Die rationale Funktion r/g lässt sich durch das additive Abspalten von Polstellen, bekannt als Partialbruchzerlegung, weiter vereinfachen. Wir illustrieren das Verfahren zunächst durch einige instruktive Beispiele.

Beispiele

(1)

Wir suchen für die rationale Funktion 1/(x(x + 1)) eine Darstellung

¹_x(x + 1) = ^a_x + ^b_x + 1.

Um a und b zu bestimmen, schreiben wir

^a_x + ^b_x + 1 = ^{a(x + 1) + bx}_x(x + 1) = ^{(a + b)x + a}_x(x + 1).

Wir suchen also a, b mit (a + b)x + a = 1 = 0 x + 1. Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir das Gleichungssystem a + b = 0, a = 1, das durch

a = 1, b = −1

eindeutig gelöst wird. Wir erhalten also die Partialbruchzerlegung

¹_{x (x + 1)} = ¹_x + ⁻¹_x + 1.

Die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion (I)

(2)	Wir suchen a, b mit ^2x + 1_{(x − 1)(x − 2)} = ^a_x − 1 + ^b_x − 2. Erweitern liefert wie im ersten Beispiel a(x − 2) + b(x − 1) = (a + b)x − 2a − b = 2x + 1. Das Gleichungssystem a + b = 2, −2a − b = 1 wird durch a = −3, b = 5 eindeutig gelöst, sodass ^2x + 1_{(x − 1)(x − 2)} = ⁻³_x − 1 + ⁵_x − 2.

(3)

Wir suchen a, b, c mit

^−x + 2_{x (x + 1) (x + 2)} = ^a_x + ^b_x + 1 + ^c_x + 2.

Erweitern liefert

a(x + 1)(x + 2) + bx(x + 2) + cx(x + 1) =

a(x² + 3x + 2) + b(x² + 2x) + c(x² + x) =

(a + b + c)x² + (3a + 2b + c)x + 2a = 0x² − x + 2.

Das Gleichungssystem

a + b + c = 0, 3a + 2b + c = − 1, 2a = 2

wird durch a = 1, b = −3, c = 2 eindeutig gelöst, sodass

^−x + 2_{x (x + 1) (x + 2)} = ¹_x − ³_x + 1 + ²_x + 2.

(4)

Wir suchen a, b, c mit

^2x²_{(x + 1)(x² + 1)} = ^a_x + 1 + ^bx + c_x² + 1.

Erweitern liefert

a(x² + 1) + (bx + c)(x + 1) = (a + b)x² + (b + c)x + a + c = 2x² + 0x + 0.

Wir finden die Lösung a = 1, b = 1, c = −1, sodass

^2x²_{(x + 1)(x² + 1)} = ¹_x + 1 + ^x − 1_x² + 1.

Die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion (II)

(5)	Wir suchen a, b, c mit ^2x² + 1_{(x − 1)³} = ^a_{(x − 1)³} + ^b_{(x − 1)²} + ^c_x − 1 Erweitern liefert a + b(x − 1) + c(x − 1)² = cx² + (b − 2c)x + a − b + c = 2x² + 0x + 1. Die eindeutige Lösung ist a = 3, b = 4, c = 2, sodass ^2x² + 1_{(x − 1)³} = ³_{(x − 1)³} + ⁴_{(x − 1)²} + ²_x − 1.

Ein allgemeines Ergebnis formulieren wir in zwei Sätzen. Dabei wird eine Methode zur Berechnung der Partialbruchzerlegung ans Licht gebracht, die ohne das Lösen von Gleichungssystemen auskommt.

Satz (Partialbruchzerlegung, einfacher Pol)

Sei f/g eine rationale Funktion mit deg(f) < deg(g). Weiter sei x₀ eine einfache Nullstelle von g, und es sei

g = (x − x₀) g*, g*(x₀) ≠ 0.

Dann gibt es ein a  ∈  ℝ und ein Polynom f* mit deg(f*) < deg(g*), sodass

^f_g = ^a_x − x₀ + ^f*_g*.

Genauer sind a und f* eindeutig bestimmt und es gilt

(+) a = ^f (x₀)_g*(x₀), f* = ^{f − a g*}_x − x₀.

Beweis

Die gesuchte Darstellung ist äquivalent zu

(#) f = a g* + (x − x₀) f*.

Wir definieren nun a und f* durch (+). Einsetzen zeigt, dass (#) gilt. Setzen wir umgekehrt x = x₀ in (#), so erhalten wir die Formel für a und aus dieser ergibt sich die Formel für f*. Dies zeigt die Existenz und Eindeutigkeit. Nach Definition von f* gilt

deg(f*) ≤ max(deg(f), deg(g*)) − 1 < deg(g) − 1 = deg(g*).

Wir betrachten nun noch einmal die obigen Beispiele.

Beispiele

(1)	Für die rationale Funktion 1/(x(x + 1)) erhalten wir mit g(x) = x + 1 und x₀ = 0 den Koeffizienten a = 1/(0 + 1) = 1. Analog ergibt g(x) = x und x₀ = −1 den Koeffizienten b = 1/(−1) = −1. Wie früher erhalten wir also ¹_{x (x + 1)} = ¹_x + ⁻¹_x + 1.

(2)	Auch die Koeffizienten a, b in ^2x + 1_{(x − 1)(x − 2)} = ^a_x − 1 + ^b_x − 2 können wir durch Auswerten bestimmen: a = ${\frac{2 x + 1}{x - 2}\|}_{x = 1}$ = ³₋₁ = − 3, b = ${\frac{2 x + 1}{x - 1}\|}_{x = 2}$ = ⁵₁ = 5.

(3)	Die Koeffizienten a = 1, b = −3, c = 2 der Partialbruchzerlegung ^−x + 2_{x (x + 1) (x + 2)} = ^a_x + ^b_x + 1 + ^c_x + 2 ergeben sich ebenfalls durch Auswertung. So ist etwa b = ${\frac{- x + 2}{x (x + 2)}\|}_{x = - 1}$ = ³_{(−1)(−1 + 2)} = −3.

(4)

Mit Hilfe des Satzes lässt sich auch die Partialbruchzerlegung

^2x²_{(x + 1)(x² + 1)} = ^a_x + 1 + ^bx + c_x² + 1.

finden: Mit f (x) = 2x², x₀ = −1 und g*(x) = x² + 1 erhalten wir

a = ⁽⁻¹⁾_g*(−1) = 1, f*(x) = ^{f − a g*}_x − x₀ = ^x² − 1_x + 1 = x − 1, sodass

^2x²_{(x + 1)(x² + 1)} = ¹_x + 1 + ^x − 1_x² + 1.

Den Fall einer mehrfachen Nullstelle wie im fünften Beispiel behandelt der folgende Satz.

Satz (Partialbruchzerlegung, mehrfacher Pol)

Sei f/g eine rationale Funktion mit deg(f) < deg(g). Weiter sei x₀ eine k-fache Nullstelle von g, und es sei

g = (x − x₀)^k g*, g*(x₀) ≠ 0.

Dann gibt es eindeutig bestimmte a₁, …, a_k  ∈  ℝ und ein Polynom f* mit deg(f*) < deg(g*), sodass

^f_g = ^f_{(x − x₀)^k g*} = ^a_k_{(x − x₀)^k} + … + ^a₁_x − x₀ + ^f*_g*.

Beweis

Die gesuchte Darstellung ist äquivalent zu

(#) f = (a_k + a_k − 1 (x − x₀) + … + a₁ (x − x₀)^k − 1) g* + (x − x₀)^k f*.

Wir zeigen die Existenz und Eindeutigkeit durch Induktion nach k ≥ 1.

Induktionsanfang k = 1: Klar nach dem vorangehenden Satz. Es gilt

a₁ = ^f (x₀)_g*(x₀), f* = ^{f − a₁ g*}_x − x₀.

Induktionsschritt von k − 1 nach k (mit k ≥ 2):

In Analogie zum Basisfall setzen wir

a_k = ^f (x₀)_g*(x₀), f_k = ^{f − a_k g*}_x − x₀.

Nach Induktionsvoraussetzung, angewendet auf die rationale Funktion f_k/(g/(x − x₀)), existiert eine eindeutige Darstellung

f_k = (a_k − 1 + … + a₁ (x − x₀)^k − 2) g* + (x − x₀)^k − 1 f*

mit deg(f*) < deg(g*). Aus

f = a_k g* + f_k (x − x₀)

ergibt sich die Darstellung (#) und ihre Eindeutigkeit.

Der Beweis enthält ein effektives Verfahren zur Bestimmung einer Partialbruchzerlegung mit mehrfachen Polen. Wir betrachten hierzu das fünfte der mit Hilfe von Gleichungssystemen gelösten Beispiele.

Beispiel

Wir bestimmen die Partialbruchzerlegung

^2x² + 1_{(x − 1)³} = ^a_{(x − 1)³} + ^b_{(x − 1)²} + ^c_x − 1.

Mit f (x) = 2x² + 1, x₀ = 1 und g*(x) = 1 erhalten wir zunächst

a = ^f (1)_g*(1) = ^2 + 1₁ = 3.

Nun berechnen wir

f₂(x) = ^{f (x) − 3}_x − 1 = ^{2(x² − 1)}_x − 1 = 2(x + 1).

Auswertung von f₂/g* = f₂ an der Stelle x₀ = 1 liefert den zweiten Koeffizienten b = 4. Schließlich ergibt

f₁(x) = ^{f₂(x) − 4}_x − 1 = 2

den dritten Koeffizienten c = 2. Insgesamt erhalten wir wie früher die Zerlegung

^2x² + 1_{(x − 1)³} = ³_{(x − 1)³} + ⁴_{(x − 1)²} + ²_x − 1.

Ist die Darstellung

^f_g = ^f_{(x − x₀)^k g*} = ^a_k_{(x − x₀)^k} + … + ^a₁_x − x₀ + ^f*_g*

gefunden, so lässt sich das Verfahren mit f*/g* wiederholen, bis alle reellen Nullstellen des Nenners additiv abgespalten sind. Weiter können wir in ähnlicher Weise auch nullstellenfreie Polynome zweiten Grades mit beliebigen Potenzen k aus dem Nenner abspalten. Dabei tauchen lineare Funktionen anstelle von Konstanten in den Zählern auf. Ein mit Hilfe eines Computers berechnetes Beispiel mit k = 4 ist

⁸¹_{(x² + x + 1)⁴ (x³ + x + 1)}	= ^{−27 (x − 1)}_{(x² + x + 1)⁴} − ^{9 (7x + 2)}_{(x² + x + 1)³} − ^{3 (25x + 11)}_{(x² + x + 1)²}
	− ^88x + 29_{x² + x + 1} + ^{88x² − 59x + 134}_{x³ + x + 1}.

Am klarsten wird die Partialbruchzerlegung bei Verwendung komplexer Zahlen, da jedes komplexe Polynom nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren zerfällt. Wir kommen später darauf zurück.

Die Partialbruchzerlegung ist bei der Integration rationaler Funktionen unverzichtbar, da die Partialbrüche meistens leichter zu integrieren sind als eine in der Form f/g mit Polynomen f und g gegebene rationale Funktion. Durch das Auftreten linearer oder quadratischer Funktionen im Nenner der Partialbruchzerlegung spielen die Logarithmusfunktion (mit Ableitung 1/x) und die Arkustangensfunktion (mit Ableitung 1/(x² + 1)) bei der Integration rationaler Funktionen eine Schlüsselrolle.