Charakterisierung der Exponentialfunktion
Wir gewinnen die Exponentialfunktion aus folgendem Satz:
Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz, Charakterisierungssatz)
Es gibt genau eine Funktion f : ℝ → ℝ mit:
(1) | f ′ = f, |
(2) | f (0) = 1. |
Wir verwenden diesen Satz in dieser Einführung ohne Beweis. Plausibel wird er durch die Betrachtung des Richtungsfeldes der Differentialgleichung f ′ = f, die auch oft in der Form y′ = y notiert wird. Eine Funktion f mit f ′ = f hat an einer Stelle x die Steigung y = f (x). Heften wir also an jeden Punkt (x, y) der Ebene den auf die Länge 1 skalierten Vektor (1, y) an, so läuft f derart durch dieses Vektorfeld, dass unsere Vektoren an jedem Punkt (x, f (x)) des Graphen von f in Richtung der Tangente von f zeigen. Umgekehrt können wir eine Funktion durch den Punkt (0, 1) in unser Richtungsfeld einzeichnen und so die Existenz und Eindeutigkeit einer Funktion f mit den Eigenschaften (1) und (2) glaubhaft machen. Das ist natürlich kein strenger Beweis, mindestens aber eine fruchtbare Anschauung.
Das Richtungsfeld der Differentialgleichung y′ = y
Definition (Exponentialfunktion, Eulersche Zahl)
Die eindeutige Funktion des Satzes heißt die (reelle) Exponentialfunktion. Wir bezeichnen sie mit exp : ℝ → ℝ. Weiter setzen wir
e = exp(1).
Die reelle Zahl e heißt die Eulersche Zahl oder Eulersche Konstante.