Das Additionstheorem
Als Erstes zeigen wir, dass die Exponentialfunktion keine Nullstellen besitzt:
Satz (Nullstellenfreiheit der Exponentialfunktion)
Für alle x ∈ ℝ gilt exp(x) exp(−x) = 1, sodass exp(x) = 1/exp(−x). Insbesondere hat die Exponentialfunktion keine Nullstellen.
Beweis
Wir definieren g : ℝ → ℝ durch g(x) = exp(x) exp(−x). Dann gilt
g′(x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0 für alle x.
Damit ist g konstant gleich g(0) = exp(0) exp(−0) = 1 · 1 = 1.
Damit können wir nun eine weitere sehr wichtige Eigenschaft zeigen, die wir durchgehend verwenden werden:
Satz (Additionstheorem, Funktionalgleichung)
Für alle x, y ∈ ℝ gilt
exp(x + y) = exp(x) exp(y).
Beweis
Sei y ∈ ℝ. Wegen exp(y) ≠ 0 können wir f : ℝ → ℝ definieren durch
f (x) = exp(x + y)exp(y) für alle x ∈ ℝ.
Für die Funktion f gilt f (0) = 1 und f ′(x) = f (x) für alle x ∈ ℝ. Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitsatz ist also f = exp. Durch Multiplikation mit der reellen Zahl exp(y) erhalten wir
exp(x) exp(y) = f (x) exp(y) = exp(x + y) für alle x ∈ ℝ.
Es ist bemerkenswert, dass sich diese Eigenschaft aus dem Charakterisierungssatz gewinnen lässt.
Beispiele
Sei x ∈ ℝ. Wegen
1 = exp(0) = exp(x − x) = exp(x) exp(−x)
ergibt sich noch einmal der Satz über die Nullstellenfreiheit. Weiter gilt:
exp(2x) = exp(x + x) = exp(x) exp(x) = exp(x)2,
exp(x) = exp(x/2 + x/2) = exp(x/2) exp(x/2) = exp(x/2)2.
Damit ist exp(x) das Quadrat einer reellen Zahl. Wegen exp(x) ≠ 0 ist also exp(x) > 0. Damit haben wir gezeigt, dass die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt.
Das Additionstheorem motiviert:
Notation: Exponentialschreibweise
Wir schreiben auch ex anstelle von exp(x).
Das Additionstheorem lautet nun:
ex + y = ex · ey für alle x, y ∈ ℝ(Additionstheorem in Exponentialschreibweise)
Weiter ist e1 = exp(1) = e.
Beispiele
Sei x ∈ ℝ. Obige Beispiele lesen sich in der Form
1 = ex − x = ex e−x, sodass e−x = (ex)− 1,
e−1 = (e1)−1 = 1/e,
e2x = ex + x = ex ex = (ex)2,
ex = ex/2 + x/2 = ex/2 ex/2 = (ex/2)2, sodass ex/2 = .