Reihendarstellung der Exponentialfunktion

 Die Exponentialfunktion können wir durch eine Potenzreihe berechnen. Eine Potenzreihe hat die Form

(+)  ∑_n a_n xⁿ  =  a₀  +  a₁ x  +  a₂ x²  +  …  +  a_n xⁿ  +  …

mit Koeffizienten a_n  ∈  ℝ. Man kann sich eine solche Reihe als „unendliches Polynom“ vorstellen. Im Gegensatz zu Polynomen treten nun aber Konvergenzfragen auf, da eine unendliche Summe gebildet wird. Soll die Summe für alle reelle Zahlen x endlich sein, so müssen die Koeffizienten a_n in ihrem Betrag schnell gegen Null konvergieren, um die Potenzen xⁿ, die für |x| > 1 in ihrem Betrag schnell wachsen, zu kompensieren. Ist die Konvergenz für alle reellen Zahlen gegeben, so kann man Potenzreihen in vielerlei Hinsicht so behandeln, als wären sie Polynome. Insbesondere darf man sie gliedweise differenzieren: Ist f : ℝ → ℝ definiert durch (+), so gilt

(++)  f ′(x)  =  ∑_n ≥ 1 n a_n x^n − 1  =  ∑_n (n + 1) a_n + 1 xⁿ  für alle x  ∈  ℝ.

Dies alles zu präzisieren und mit vollständigen Beweisen systematisch zu entwickeln erfordert viel Arbeit. Im Rahmen dieser Einführung werden wir Potenzreihen weitgehend naiv und spielerisch behandeln. Natürlich verwenden wir dabei nur Sätze, die sich in einem strengen Aufbau der Analysis auch beweisen lassen.

 Wir beginnen unsere spielerische Untersuchung mit der Frage, wie wir die Koeffizienten a_n einstellen müssen, damit durch f (x) = ∑_n a_nxⁿ eine Funktion f : ℝ → ℝ definiert wird mit

Zunächst gilt f (0) = a₀. Wir setzen also a₀ = 1. Aus dem Wunsch f ′ = f und gliedweisem Differenzieren (++) ergibt sich durch Koeffizientenvergleich

a_n  =  (n + 1) a_n + 1  für alle n ≥ 0.

Damit erhalten wir die Rekursionsgleichung

a₀  =  1,  a_n + 1  =  a_n ¹_n + 1  für alle n ≥ 0.

Diese wird gelöst durch

a_n  =  ¹_n!  =  ¹_{1 · 2 · … · n}  für alle n ≥ 0,

wobei wir 0! = 1 verwenden. Diese Koeffizienten konvergieren extrem schnell gegen 0 und setzen sich gegen xⁿ für eine im Betrag beliebig große feste reelle Zahl x durch. Insgesamt gilt:

 Die Exponentialreihe können wir zur effektiven Berechnung der Exponentialfunktion verwenden. Für alle n  ∈  ℕ stellt die sogenannte n-te Partialsumme

f_n(x)  =  1  +  x  +  ^x2_2!  +  …  +  ^xn_n!  =  ∑_k ≤ n ^xk_k!

der Exponentialreihe eine Approximation an die Exponentialfunktion dar. Je größer der Betrag von x ist, desto größer müssen wir n wählen, um eine gute Approximation zu erhalten. Die folgenden Diagramme geben einen Eindruck von der Güte der Approximation.

 Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion erlaubt insbesondere auch eine schnelle numerische Berechnung von exp(x). Für die Eulersche Zahl e gilt

Berechnung der Koeffizienten durch mehrfaches Ableiten

 Die Koeffizienten der Exponentialreihe lassen sich auch durch Auswerten der mehrfach gebildeten Ableitung an der Stelle 0 gewinnen. Der Leser vergleiche dies mit der Diskussion der Entwicklung von Polynomen an einer Stelle. Für alle k  ∈  ℕ gilt

f ^(k)(x)  =  k! a_k  +  (k + 1) … 2 a_k + 1 x  +  (k + 2) … 3 a_k + 2 x²  +   …,

sodass f ^(k)(0)  =  k! a_k oder

(#)  a_k  =  ^{f (k)(0)}_k!.

Diese Koeffizientenformel gilt allgemein für Potenzreihen. In unserem Fall gilt f ^(k) = f und f (0) = 1, sodass

a_k  =  ¹_k!.