Der natürliche Logarithmus

 Für alle x  ∈  ℝ gilt exp′(x) = exp(x) > 0, sodass die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist. Dies lässt sich anschaulich auch am Richtungsfeld der Differentialgleichung f ′ = f erkennen. Wie jede streng monotone Funktion besitzt die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion:

Definition (natürlicher Logarithmus)

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ heißt der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus zur Basis e. In Zeichen schreiben wir

log : ] 0, ∞ [ → ℝ  oder  ln : ] 0, ∞ [ → ℝ.

 Wir bevorzugen im Folgenden die Bezeichnung „log“ statt „ln“. Letzteres steht für „logarithmus naturalis“. Nach Definition gilt:

(1)

log(exp(x)) = x  für alle x  ∈  ℝ,

(2)

exp(log(x))  =  x  für alle x > 0.

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 Speziell gilt

log(1) = 0,  log(e) = 1,  log(1/e) = −1,

da exp(0) = 1 und exp(1) = e. Als Umkehrfunktion einer streng monoton steigenden Funktion ist der Logarithmus ebenfalls streng monoton steigend (und nicht etwa fallend!).

 Aus dem Additionstheorem der Exponentialfunktion wird ein Multiplikationstheorem:

Satz (Multiplikationstheorem)

Für alle x, y > 0 gilt log(x y) = log(x) + log(y).

Beweis

Seien x, y > 0, und seien a, b  ∈  ℝ mit exp(a) = x, exp(b) = y. Dann gilt

log(x · y)  =  log(exp(a) exp(b))  =  log(exp(a + b))  =  a + b  =  log(x) + log(y).

Beispiele

Für alle x > 0 gilt:

(a)

log(x2)  =  log(xx)  =  log(x) + log(x)  =  2log(x).

(b)

log(x)  =  log(x x)  =  2 log(x),  sodass

log(x1/2)  =  log(x)  =  1/2 log(x).