Die Potenzfunktionen

 In der allgemeinen Exponentialfunktion ist die Basis fest und der Exponent variabel. Vertauschen wir die Rollen, erhalten wir.

Beispiele für Potenzfunktionen sind die auf ℝ⁺ erklärten Funktionen

1,  x,  x²,  x³,  …

x^{− 1}  =  1/x,  x^{− 2}  =  1/x²,  x^{− 3}  =  1/x³,  …

x^1/2  =  $\sqrt{\mathrm{x}}$,  x^1/3  =  ³$\sqrt{\mathrm{x}}$,  x^1/4  =  ⁴$\sqrt{\mathrm{x}}$,  …

x^n/m  =  ^m$\sqrt{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$  für n  ∈  ℤ und m  ∈  ℕ*.

 Für einen positiven Exponenten b können wir die Potenzfunktionen stetig durch pot_b(0) = 0 fortsetzen. Für manche Exponenten b kann die Potenzfunktion pot_b sogar auf ganz ℝ erklärt werden, z. B. für b  ∈  ℕ oder b = 1/3, nicht aber für b = −1 oder b = 1/2. Im Allgemeinen sind die Potenzfunktionen nur für positive reelle Zahlen definiert, da zu ihrer Definition die Logarithmusfunktion herangezogen wird.

 Die beiden Welten der Potenzfunktionen für positive bzw. negative Exponenten werden durch die konstante Potenzfunktion pot₀ mit

pot₀(x)  =  x⁰  =  1  für alle x > 0

getrennt. Die Wurzelfunktionen pot_1/n nähern sich punktweise von unten an pot₀ an, wenn n gegen unendlich strebt. Ebenso nähern sich die Potenzfunktionen pot_−1/n punktweise von oben an pot₀ an. Beide Typen haben Besonderheiten an ihrer linken Definitionsgrenze 0: Die Wurzelfunktionen können stetig im Nullpunkt fortgesetzt werden, sind dort aber nicht differenzierbar. Und die Funktionen pot_−1/n(x) streben gegen unendlich, wenn x gegen 0 strebt.