Eigenschaften von Kosinus und Sinus
Aus der Definition am Einheitskreis gewinnen wir:
Satz (elementare Werte von cos und sin)
Für alle k ∈ ℤ gilt:
(a) | cos(π/2 + kπ) = 0, sin(kπ) = 0,(Nullstellen) |
(b) | cos(kπ) = (−1)k, sin(π/2 + kπ) = (−1)k,(±1-Werte) |
(c) | cos(π/4 + kπ) = sin(π/4 + kπ) = (−1)k /2.(gleiche Werte) |
Zudem gibt es keine weiteren Nullstellen, Stellen mit Wert ±1 und Stellen mit gleichem Wert.
Einige häufig verwendete Formeln versammelt der folgende Satz.
Satz (elementare Eigenschaften von cos und sin)
Für alle α ∈ ℝ gilt:
(a) | cos2α + sin2α = 1,(Satz des Pythagoras für Kosinus und Sinus) |
(b) | cos α = cos (−α), sin α = − sin(−α),(Parität) |
(c) | cos(π/2 − α) = sin α, sin(π/2 − α) = cos α,(Spiegelung) |
(d) | cos(α + π/2) = − sin α, sin(α + π/2) = cos α, cos(α + π) = − cos α, sin(α + π) = − sin α, cos(α + 3π/2) = sin α, sin(α + 3π/2) = − cos α, cos(α + 2π) = cos α, sin(α + 2π) = sin α.(Verschiebungsformeln) |
Die erste Eigenschaft folgt aus dem Satz des Pythagoras, den wir an dieser Stelle voraussetzen. Die anderen Eigenschaften ergeben sich aus elementaren geometrischen Transformationen, die wir aufgrund ihrer Bedeutung allgemein formulieren:
Spiegelung am Nullpunkt
Bei der Spiegelung am Nullpunkt geht ein Punkt (x, y) über in den Punkt −(x, y) = (−x, −y).
Spiegelung an den Achsen
Bei der Spiegelung an der x-Achse geht ein Punkt (x, y) über in (x, −y). Bei der Spiegelung an der y-Achse geht (x, y) über in (−x, y).
Spiegelungen an der ersten und zweiten Winkelhalbierenden
Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten geht ein Punkt (x, y) über in (y, x). Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden des zweiten und vierten Quadranten geht (x, y) über in (−y, −x).
Drehungen um π/2
Bei der Drehung um π/2 (gegen den Uhrzeigersinn) geht ein Punkt (x, y) über in (−y, x). Bei der Drehung um π/2 im Uhrzeigersinn geht (x, y) über in (y, −x).
Damit lässt sich eine Drehung um π/2 beispielsweise auch auffassen als eine Spiegelung an der x-Achse gefolgt von einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden: (x, y) wird erst zu (x, −y) und dann zu (−y, x).
Der Leser möge die Eigenschaften des Satzes mit Hilfe von Diagrammen visualisieren und sie mit Hilfe der Transformationsregeln für Spiegelungen und Drehungen um π/2 begründen.
Die beiden Drehungen um π/2 und die Spiegelung am Nullpunkt