Weitere trigonometrische Funktionen
Mit Hilfe der Kosinus- und Sinusfunktion lassen sich zahlreiche weitere Funktionen definieren. Vier davon sind:
Definition (Tangens, Kotangens, Sekans, Kosekans)
Wir definieren
tan = sincos, cot = cossin, sec = 1cos, csc = 1sin.
Die Funktionen heißen der Tangens, Kotangens, Sekans bzw. Kosekans.
Wie bei den rationalen Funktion sind die Funktionen genau an den Nullstellen der Nenner nicht definiert. Damit gilt
tan, sec : ℝ − A → ℝ mit A = { π/2 + k π | k ∈ ℤ },
cot, csc : ℝ − B → ℝ mit B = { k π | k ∈ ℤ }.
Aus den elementaren Formeln für den Kosinus und Sinus ergeben sich viele Formeln für die anderen trigonometrischen Funktionen. Exemplarisch halten wir fest:
tan(± π/4) = cot(± π/4) = ± 1,
tan(π/2 − α) = cot α, cot(π/2 − α) = tan α,
tan(α ± π) = tan α, cot(α ± π) = cot α.
Diese Formeln gelten unter der Voraussetzung der Definiertheit, d. h. für alle Stellen α, an denen die beteiligten Funktionen definiert sind.
Die Additionstheoreme für den Kosinus und Sinus liefern:
Satz (Additionstheoreme für Tangens, Kotangens)
Für alle α, β ∈ ℝ gilt unter der Voraussetzung der Definiertheit:
(a) | tan(α + β) = tan α + tan β1 − tan α tan β, |
(b) | cot(α + β) = cot α cot β − 1cot α + cot β. |
Die Beweise dieser Additionstheoreme seien dem Leser zur Übung überlassen.