Die Paritäts-Zerlegung einer Funktion
Wir beginnen mit einer allgemeinen Konstruktion. Zur Erinnerung:
Definition (gerade und ungerade Funktion)
Sei P ⊆ ℝ derart, dass für alle Elemente x von P auch −x ein Element von P ist. Weiter sei f : P → ℝ. Dann heißt f gerade, falls f (−x) = f (x) für alle x ∈ P. Analog heißt f ungerade, falls f (−x) = −f (x) für alle x ∈ P.
Diese Eigenschaften werden oft auch als Parität einer Funktion bezeichnet, in Analogie zur Parität gerade/ungerade bei den ganzen Zahlen. Beispielsweise ist der Kosinus gerade und der Sinus ungerade.
Ist f : P → ℝ eine beliebige Funktion mit einem zum Nullpunkt symmetrischen Definitionsbereich P, so können wir f+, f− : P → ℝ definieren durch
f+(x) = f (x) + f (−x)2, f−(x) = f (x) − f (−x)2 für alle x ∈ P.
Dann ist f+ gerade und f− ungerade. Aufgrund des Faktors 1/2 gilt zudem
f (x) = f+(x) + f−(x) für alle x ∈ P.
Durch diese Konstruktion können wir jede Funktion als Summe einer geraden und ungeraden Funktion darstellen. Im Englischen spricht man von einer even and odd decomposition, in Deutschen von einer Paritäts-Zerlegung:
Definition (Paritäts-Zerlegung)
Die Darstellung f = f+ + f− heißt die Paritäts-Zerlegung von f. Weiter heißt die Funktion f+ der gerade und die Funktion f− der ungerade Anteil von f.
Die Paritäts-Zerlegung einer Funktion