Die Areafunktionen

In weiterer Analogie zu den trigonometrischen Funktionen können wir die Umkehrfunktion der hyperbolischen Funktionen erklären:

Definition (Areafunktionen)

Die Area-Funktionen arcosh, arsinh, artanh, arcoth, arsech, arcsch sind definiert als die Umkehrfunktionen von cosh₀, sinh, tanh, coth, sech₀, csch, wobei cosh₀ und sech₀ die Einschränkung von cosh und sech auf [ 0, ∞ [ ist.

Es gilt

arcosh : [ 1, ∞ [ → ℝ,	arsinh : ℝ → ℝ,
artanh : ] −1, 1 [ → ℝ,	arcoth : ] −∞, 1 [ ∪ ] 1, ∞ [ → ℝ,
arsech : ] 0, 1 ] → ℝ,	arcsch : ℝ* → ℝ.

Da die Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion definiert sind, ist ein Zusammenhang der Areafunktionen mit der Logarithmusfunktion zu vermuten. Die genauen Beziehungen sind:

Satz (Logarithmus-Darstellung der Areafunktionen)

Es gilt:

arcosh x = log (x + $\sqrt{x^{2} - 1}$ )	für alle x ≥ 1,
arsinh x = log (x + $\sqrt{x^{2} + 1}$ )	für alle x  ∈  ℝ,
artanh x = ¹₂ log (^{1 + x}_{1 − x})	für alle x mit \|x\| < 1,
arcoth x = ¹₂ log (^{x + 1}_{x − 1})	für alle x mit \|x\| > 1,
arsech x = log ( $\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ )	für alle 0 < x ≤ 1,
arcsch x = sgn(x) log ( $\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{\|x\|}$ )	für alle x ≠ 0.

Beweis

Wir zeigen die Darstellung des Area Kosinus Hyperbolicus. Die anderen Formeln werden ähnlich beweisen.

Sei x ≥ 1, und sei y ≥ 0 derart, dass x = cosh y. Mit z = e^y gilt

2x = 2 coshy = e^y + e^−y = e^y + ¹_e^y = z + ¹_z.

Multiplikation mit z liefert die quadratische Gleichung z² − 2xz + 1 = 0 in z mit den Lösungen

z_1,2 = x ± $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Wegen z = e^y ≥ 1 scheidet das negative Vorzeichen aus, sodass

e^y = z = x + $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Damit ist arcosh x = arcosh(cosh y) = log(x + $\sqrt{x^{2} - 1}$ ).

Die Namensgebung „area“ für „Fläche“ ist wie folgt motiviert: Ist a  ∈  [ 0, 1 [ und sind P = (x_a, y_a) und Q = (x_a, − y_a) die Schnittpunkte des rechten Astes der Einheitshyperbel mit den Geraden durch den Nullpunkt der Steigung a bzw. -a, so wird durch die Punkte O, P, Q eine Fläche mit dem Inhalt A definiert. Man kann zeigen, dass x_a = cosh  A, y_a = sinh A, sodass

A = arcosh x_a = arsinh y_a.

In diesem Sinne messen die Areafunktionen Flächen an der Einheitshyperbel so, wie die Arkusfunktionen Bogenlängen am Einheitskreis messen. Da eine Bogenlänge gleich der doppelten Fläche des zugehörigen Kreissektors ist, lassen sich auch die Arkusfunktionen durch Flächeninhalte interpretieren.

Die Flächenmessung der Areafunktionen im Vergleich mit den Arkusfunktionen