Der Approximationssatz

Eine sehr wichtige Sicht auf die Ableitung wird ausgedrückt in:

Satz (linearer Approximationssatz)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Dann sind äquivalent:

(1)	f ist differenzierbar in p.

(2)

Es gibt ein a  ∈  ℝ und eine Funktion r : P → ℝ mit den Eigenschaften:

(i)	f (x) = f (p) + a (x − p) + r(x) für alle x  ∈  P,

(ii)	lim_x → p ^r(x)_x − p = 0.

Gilt (2), so ist a = f ′(p).

Die Idee ist:

In der Nähe von p ist die Funktion f ihre Tangente plus ein kleiner Rest.

Was „kleiner Rest“ bedeuten soll, wird durch die Grenzwertbedingung (ii) präzisiert. Der Leser beachte, dass die Eigenschaft (i) für ein beliebiges a  ∈  ℝ immer erreicht werden kann: Wir setzen einfach

r_a(x) = f (x) − f (p) − a (x − p) für alle x  ∈  P.

Dann gilt

f (x) = f (p) + a (x − p) + r_a(x) für alle x  ∈  P

nach Konstruktion. Die Bedingung (ii) ist aber in der Regel verletzt:

Beispiel

Sei f die Betragsfunktion, d. h. f (x) = |x| für alle x. Weiter sei p = 0 und a  ∈  ℝ beliebig. Dann gilt für alle x ∈  P:

r_a(x) = f (x) − f (0) − a (x − 0) = |x| − ax = x(sgn(x) − a),

sodass

^r_a(x)_x − p = ^{x(sgn(x) − a)}_x = sgn(x) − a.

Der Quotient konvergiert nicht gegen 0, wenn x gegen 0 strebt. Der rechtsseitige Grenzwert ist −1 − a, der linksseitige 1 + a. (Dies entspricht den einseitigen Ableitungen: Für a = 1 erhalten wir 0, wenn x von rechts gegen 0 konvergiert, und für a = −1 erhalten wir 0, wenn x von links gegen 0 konvergiert.)

Das Beispiel illustriert die Bedeutung der Bedingung (ii):

Die Restfunktion r strebt nicht nur gegen Null, wenn x gegen p strebt. Sie strebt stärker immer noch gegen 0, wenn sie durch x − p geteilt wird.

Anders formuliert: Die Restfunktion r konvergiert an der Stelle p schneller als eine lineare Funktion gegen 0. Der Leser denke zum Beispiel an die Einheitsparabel x² und die Stelle 0. Die Konvergenz muss aber nicht unbedingt quadratisch sein. Auch die Funktion x^3/2 konvergiert an der Stelle 0 nach einer Division durch x immer noch gegen gegen 0. Allgemeiner gilt dies für x^1 + ε für ein beliebig kleines ε > 0.

Die Restfunktion r(x) = f (x) − g(x) an der Stelle p

Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun den Approximationssatz beweisen.

Beweis

(1) impliziert (2):

Sei f differenzierbar an der Stelle p. Wir setzen a = f ′(p) und definieren r : P → ℝ durch

r(x) = f (x) − f (p) − a (x − p) für alle x  ∈  P.

Dann gilt (i) nach Definition. Weiter gilt auch (ii), da

lim_x → p ^r(x)_x − p	= lim_x → p (^{f (x) − f (p)}_x − p − a ^x − p_x − p)
	= lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p − a lim_x → p ^x − p_x − p
	= a − a = 0.

(2) impliziert (1) (und Zusatz):

Sind a  ∈  ℝ und r : P → ℝ wie in (2), so gilt

lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_x → p (a + ^r(x)_x − p) = a + 0 = a.

Dies zeigt, dass f an der Stelle p differenzierbar ist mit f ′(p) = a.

Wir betrachten den Approximationssatzes noch einmal an einem konkreten Beispiel. Als Funktion wählen wir die Logarithmusfunktion.

Die Restfunktion r(x) = log(x) − g(x) und der Quotient r(x)/(x − p) an der Stelle 1