Die Regeln von l’Hospital

 Differenzieren kann bei der Berechnung von Grenzwerten hilfreich sein. Führt ein Grenzwert der Form

limx → p f (x)g(x)

beim Grenzübergang im Zähler und Nenner zu kritischen Quotienten „0/0“ oder „± ∞/ ± ∞“, so kann der Übergang zu den Ableitungen der Funktionen zu definierten Quotienten führen:

Satz („nullte Regel“ von l’Hospital)

Seien f, g : P → ℝ differenzierbar in p  ∈  P. Es gelte f (p) = g(p) = 0 und g′(p) ≠ 0. Dann gilt

limx → p f (x)g(x)  =  f ′(p)g′(p).

Beweis

Aufgrund der Voraussetzungen und nach Definition des Differentialquotienten gilt:

limx → p  f (x)g(x)  =  limx → p  (f (x) − f (p))/(x − p)(g(x) − g(p))/(x − p)  =  f ′(p)g′(p).

 Alternativ können wir den Approximationssatz verwenden. Es gilt

f (x)  =  f (p)  +  f ′(p)(x − p)  +  o(x − p)  =  f ′(p)(x − p)  +  o(x − p),

g(x)  =  g(p)  +  g′(p)(x − p)  +  o(x − p)  =  g′(p)(x − p)  +  o(x − p)  für x → p.

Der Quotient strebt gegen f ′(p)/g′(p), wenn x gegen p strebt.

Beispiel

Folgender Grenzwert vom Typ „0/0“ an der Stelle p = 1 kann durch Differenzieren berechnet werden:

limx → 1 x2 + 2x − 32x2 − x − 1  =  2x+24x−1x=1  =  43.

Ohne Verwendung von Differentialrechnung können wir den gemeinsamen Linearfaktor x − 1 abspalten, um den Grenzwert zu bestimmen:

limx → 1 x2 + 2x − 32x2 − x − 1  =  limx → 1 (x − 1)(x + 3)(x − 1)(2x + 1)  =  x+32x+1x=1  =  43.

 Die Methode der Berechnung von Grenzwerten durch Ableiten lässt sich auch auf Funktionen anwenden, die an der betrachteten Stelle nicht definiert sind. Es gilt der folgende Satz, den wir hier ohne Beweis angeben:

Satz (Regeln von l’Hospital)

Seien −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Weiter seien f, g : ] a, b [ → ℝ differenzierbar. Die Funktion g sei nullstellenfrei und es gelte

(a)  limx → b f (x)  =  limx → b g(x)  =  0  oder

(b)  limx → b g(x)  =  ± ∞.

Existiert c  =  limx → b f ′(x)g′(x)  ∈  [ −∞, ∞ ],  so gilt  limx → b f (x)g(x)  =  c.

Analoges gilt für rechtsseitige Grenzwerte der Form „limx → a“.