Einfache Ableitungen

 Im Folgenden bestimmen wir die Ableitungen aller im ersten Abschnitt betrachteten Funktionen. Wegen dxⁿ/dx = n x^n − 1 können wir aufgrund der Linearität der Ableitung beliebige Polynome differenzieren:

^d_dx(a_n xⁿ  +  …  +  a₂ x²  +  a₁ x  +  a₀)  =  n a_n x^n − 1  +  …  +  2 a₂ x  +  a₁.

Die Ableitung einer rationalen Funktion f/g ergibt sich aus der Ableitungsregel für Polynome und der Quotientenregel:

(f/g)′  =  ^{f ′ g  −  g′ f}_g².

Für die Exponentialfunktion gilt nach unserer Charakterisierung

exp′  =  exp.

Die Ableitung der Logarithmus erhalten wir mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:

^d_dx log x  =  ¹_{exp′(log x)}  =  ¹_{exp(log x)}  =  ¹_x.

Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktionen können wir mit der Kettenregel bestimmen. Für alle a > 0 gilt:

^d_dx a^x  =  ^d_dxe^{x log a}  =  e^{x log a d}_dx(x log a)  =  a^x log a.

Damit gilt exp_a′ = log(a) exp_a. Für die Umkehrfunktionen erhalten wir

^d_dx log_a x  =  ¹_{expa′(loga x)}  = ¹_{log(a) expa(loga x)}  =  ¹_{log(a) x}.

Für die Potenzfunktionen gilt schließlich

^d_dx x^a  =  ^d_dx e^{a log x}  =  e^{a log x d}_dx(a log x)  =  x^{a a}_x  =  a x^a − 1,

in Übereinstimmung und Verallgemeinerung der Ableitungsregel für die Monome xⁿ.