Ableitung von Kosinus und Sinus
Wir haben den Kosinus und Sinus als Koordinatenfunktionen für durch das Bogenmaß definierte Punkte des Einheitskreises eingeführt. Die Ableitungen der beiden Funktionen können wir raten, indem wir die elementaren Werte der beiden Funktionen betrachten: Die lokalen Extrema des Kosinus (die ±1-Werte) sind genau die Nullstellen des Sinus, und ebenso sind die lokalen Extrema des Sinus (die ±-Werte) genau die Nullstellen des Kosinus. Betrachtung der Vorzeichen führt zur Hypothese
cos′ = − sin, sin′ = cos.
Um diese Hypothese zu beweisen, zeigen wir zunächst einen Hilfssatz:
Satz (Ableitungen des Kosinus und Sinus im Nullpunkt)
Es gilt: limx → 0 sin xx = 1, limx → 0 cos x − 1 x = 0.
Damit ist sin′(0) = 1 und cos′(0) = 0.
Beweis
Wir zeigen die Aussage für den Sinus. Die Aussage für den Kosinus kann ähnlich bewiesen werden oder aus der Aussage für den Sinus hergeleitet werden (Übung). Wegen sin(−x) = −sin x können wir uns auf positive x beschränken. Sei also x ∈ ] 0, π/2 [. Wir betrachten den Einheitskreis K1 und die Punkte
O = (0, 0), A = (1, 0), P = (cos x, sin x) ∈ K1, Q = (1, tan x).
Dann liegt Q auf der Geraden OP und OAQ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel x an der Ecke O. Es gilt
(+) sin x2 ≤ x2 ≤ tan x2,
denn die drei Größen sind der Reihe nach die Flächen des Dreiecks OAP, des Kreissegments OAP, des Dreiecks OAQ. Umformen liefert
(++) cos x ≤ sin xx ≤ 1.
Da cos x gegen 1 strebt, wenn x gegen 0 strebt, folgt die Behauptung. Wegen
sinx = sinx − sin0x − 0
ist also sin′(0) = 1.
Zur Ableitung des Sinus an der Stelle 0
Der Sinus-Grenzwert lässt sich auch durch folgende Argumentation veranschaulichen: Für kleine x ist die Bogenlänge x ungefähr gleich sin x, sodass das Verhältnis der beiden Größen ungefähr gleich 1 ist.
Mit Hilfe der Additionstheoreme ergibt sich nun:
Satz (Ableitungen des Kosinus und Sinus)
Es gilt cos′ = −sin und sin′ = cos.
Beweis
Sei x ∈ ℝ beliebig. Dann gilt
| ddx sin x | = limh → 0 sin(x + h) − sin xh |
| = limh → 0 sin x cos h + cos x sinh − sin xh | |
| = limh → 0 (sin x cos h − 1h + cos x sin hh) | |
| = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x. |
Die Kosinus-Ableitung wird analog bewiesen oder mit Hilfe der Formel cos x = sin(π/2 − x) und der Kettenregel aus der Sinus-Ableitung gewonnen.
Nicht vorenthalten möchten wir dem Leser:
Dynamische Argumentation
Bewegt sich ein Punkt P mit P(0) = (1, 0) in der Zeit t auf dem Einheitskreis K1 mit der Winkelgeschwindigkeit 1 gegen den Uhrzeigersinn, so gilt:
P(t) = (cos t, sin t) für alle t ∈ ℝ.
Sei t ∈ ℝ beliebig. Dann ist Q(t) = (cos′ t, sin′ t) der Geschwindigkeitsvektor des Punktes zur Zeit t. Dieser Vektor steht senkrecht auf P(t) und hat die Länge 1. Genauer ist Q(t) um π/2 (gegen den Uhrzeigersinn) gedrehte Vektor P(t). Da (x, y) bei der Drehung um π/2 in (−y, x) übergeht, gilt
(cos′ t, sin′ t) = Q(t) = (−sin t, cos t).
Folglich ist cos′ t = −sin t und sin′ t = cos t.
Insgesamt erhalten wir die periodische Ableitungsfolge
cos, sin, −cos, −sin, cos, sin, −cos, −sin, …