Potenzreihendarstellungen für den Kosinus und Sinus
Bisher haben wir, auf spielerischer Basis, die Potenzreihendarstellungen
exp x = 1 + x + x22 + x36 + … = ∑n ∈ ℕ xnn!
cosh x = 1 + x22 + x424 + … = ∑n ∈ ℕ x(2n)(2n)!
sinh x = x + x36 + x5120 + … = ∑n ∈ ℕ x(2n + 1)(2n + 1)!
gefunden. Mit Hilfe der zweiten Ableitungen cos″ = −cos und sin″ = −sin können wir Potenzreihen für den Kosinus und Sinus ermitteln. Leiten wir eine Potenzreihe
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn + …
gliedweise zweimal ab, so ergibt sich
f ′(x) = 1 · a1 + 2 a2 x + … + n an xn − 1 + …,
f ″(x) = 2 · 1 · a2 + 3 · 2 a3 x + … + n (n − 1) an xn − 2 + …
Soll die zweite Ableitung die Ausgangsreihe mit einem negativen Vorzeichen reproduzieren, so liefert ein Koeffizientenvergleich
a0 = − 2 · 1 a2, a1 = − 3 · 2 a3, a2 = − 4 · 3 a4
und allgemein
(+) an = − (n + 2) (n + 1) an + 2 für alle n ∈ ℕ.
Wir betrachten nun den Kosinus, sodass
f (x) = cos x, f ′(x) = − sin x, f ″(x) = − cos x.
Wegen cos 0 = f (0) = 1 ist a0 = 1. Aus (+) ergibt sich
a2 = − 12!, a4 = 14!, a6 = − 16!, a8 = 18!
und allgemein
a2n = (−1)n 1(2n)! für alle n ∈ ℕ.
Wegen cos′(0) = f ′(0) = 1 erhalten wir a1 = 0 und damit an = 0 für alle ungeraden Indizes n. Insgesamt ergibt sich
cos x = 1 − x22! + x44! − x66! + … = ∑n (−1)n x2n(2n)!.
Damit unterscheidet sich die Potenzreihe des Kosinus von der des Kosinus Hyperbolicus nur durch alternierende Vorzeichen.
Analoge Überlegungen (oder gliedweises Differenzieren der Kosinus-Reihe und Verwendung von cos′ = − sin x) liefern
sin x = x − x33! + x55! − x77! + … = ∑n (−1)n x2n + 1(2n + 1)!.
Man kann zeigen, dass diese Darstellungen in der Tat für alle reellen Zahlen gültig sind:
Satz (Kosinus-Reihe und Sinus-Reihe)
Für alle x ∈ ℝ gilt:
cos x = 1 − x22! + x44! − x66! + … = ∑n (−1)n x2n(2n)!,
sin x = x − x33! + x55! − x77! + … = ∑n (−1)n x2n + 1(2n + 1)!.
Speziell für im Betrag kleine Stellen x ergibt sich so eine Möglichkeit der effektiven Berechnung des Kosinus und des Sinus. Mit Hilfe der Landau-Notation können wir schreiben
| cos x = 1 + o(x), | cos x = 1 − x2/2 + o(x3), |
| sin x = x + o(x2), | sin x = x − x3/6 + o(x4) für x → 0. |
Unsere Überlegungen zeigen, dass der Kosinus und der Sinus wie ihre hyperbolischen Verwandten eine der Exponentialfunktion formal ähnliche Darstellung als Potenzreihe besitzen. Während die hyperbolischen Funktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ definiert werden können, ist ein Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen im Reellen aufgrund des Vorzeichenverhaltens der Koeffizienten nicht ersichtlich. Dass ein Zusammenhang besteht, wird erst im Komplexen sichtbar.
Die Sinusfunktion und einige Approximationen f2n + 1 mit
f2n + 1(x) = x − x33! + x55! − x77! + … + (−1)n x2n + 1(2n + 1)!