Die Ableitungen des Arkustangens

Für viele elementare Funktionen lassen die höheren Ableitungen explizit leicht angeben. Die Exponentialfunktion reproduziert sich selbst:

exp, exp, exp, …

Der Sinus hat die periodische Ableitungsfolge

sin, cos, − sin, − cos, sin, cos, − sin, − cos, …

Für den Logarithmus ergibt sich

log, ¹_x, − ¹_x², 2 ¹_x³, − 3! ¹_x⁴, …, (−1)^n − 1 (n − 1)! ¹_xⁿ, …,

was durch Induktion nach n leicht nachgewiesen werden kann. Deutlich schwieriger sind die höheren Ableitungen

arctan, arctan′, …, arctan⁽ⁿ⁾, …

des Arkustangens zu berechnen. Wir geben eine elementare Analyse dieser in der Literatur überraschenderweise kaum beachteten Problemstellung. Die ersten Ableitungen lauten:

arctan′(x)	= ¹_1 + x²	=: g(x)
arctan″(x)	= ^−2x_{(1 + x²)²}	= −2x g(x)²
arctan⁽³⁾(x)	= ^{2(3x² − 1)}_{(1 + x²)³}	= 2 (3x² − 1) g(x)³
arctan⁽⁴⁾(x)	= ^{6(−4x³ + 4x)}_{(1 + x²)⁴}	= 3! (−4x³ + 4x) g(x)⁴
arctan⁽⁵⁾(x)	= ^{24(5x⁴ − 10x² + 1)}_{(1 + x²)⁵}	= 4! (5x⁴ − 10x² + 1) g(x)⁵
arctan⁽⁶⁾(x)	= ^{120(−6x⁵ + 20x³ − 6x)}_{(1 + x²)⁶}	= 5! (−6x⁵ + 20x³ − 6x) g(x)⁶

Die auf der rechten Seite der Tabelle isolierten Polynome haben alternierende Vorzeichen. Ihre Koeffizienten tauchen als Diagonalen im Pascalschen Dreieck auf:

						1
					1		1
				1		2		1
			1		3		3		1
		1		4		6		4		1
	1		5		10		10		5		1
1		6		15		20		15		6		1

Diese Beobachtungen motivieren:

Definition (Arkustangens-Polynome)

Für alle n ≥ 0 ist das n-te Arkustangens-Polynom q_n: ℝ → ℝ definiert durch

q_n(x) = (−1)ⁿ ∑_{0 ≤ k ≤ n, k gerade} $( \binom{n + 1}{k + 1} )$ (−1)^k/2 x^n − k für alle x  ∈  ℝ.

Für alle x  ∈  ℝ gilt

q₀(x) = 1, q₁(x) = −2x, q₂(x) = 3x² − 1, q₃(x) = −4x³ + 4x, …

Mit Blick auf die oben berechneten Ableitungen ist folgendes Ergebnis nicht mehr überraschend:

Satz (Ableitungen des Arkustangens)

Für alle n ≥ 1 gilt

arctan⁽ⁿ⁾(x) = (n − 1)! ^{q_n − 1(x)}_{(1 + x²)ⁿ} für alle x  ∈  ℝ.

Beim Versuch, den Satz durch Induktion nach n ohne weitere Vorbereitungen zu beweisen, verwickeln wir uns leicht in unüberschaubare Terme. Es ist daher nützlich, vorab einige Eigenschaften der Polynome zu isolieren:

Satz (Eigenschaften der Arkustangens-Polynome)

Sei n ≥ 0. Dann gilt:

(a)	q_n ist ein Polynom vom Grad n.

(b)	q_n(−x) = (−1)ⁿ q_n(x) für alle x  ∈  ℝ.

(c)	q_n(0) = 0 für n ungerade, q_n(0) = (−1)^n/2 für n gerade.

(d)	q_n′ = − (n + 1) q_n − 1 für n ≥ 1.

(e)	q_n(x) + 2x q_n − 1(x) + (1 + x²) q_n − 2(x) = 0 für n ≥ 2.

Beweis

Die ersten vier Eigenschaften sind leicht einzusehen. Die fünfte Eigenschaft zeigen wir durch Induktion nach n ≥ 2. Der Induktionsanfang n = 2 ist klar. Im Induktionsschritt von n − 1 nach n berechnen wir

^d_dx(q_n(x) + 2x q_n − 1(x) + (1 + x²) q_n − 2(x))

= q_n′(x) + 2q_n − 1(x) + 2xq_n − 1′(x) + 2x q_n − 2(x) + (1 + x²) q_n − 2′(x)

= (1 − n) (q_n − 1(x) + 2x q_n − 2(x) + (1 + x²) q_n − 3(x)) =_I. V. 0.

Damit ist das abgeleitete Polynom konstant. Nach (b) hat es an der Stelle 0 den Wert 0, sodass das Polynom das Nullpolynom ist.

Problemlos ist nun:

Beweis des Satzes über die Ableitungen des Arkustangens

Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach n ≥ 1. Der Induktionsanfang n = 1 ist klar wegen q₀ = 1 und arctan′(x) = 1/(1 + x²). Im Induktionsschritt von n nach n + 1 berechnen wir mit Hilfe von (d) und (e):

arctan^(n + 1)	= (n − 1)! ^{q_n − 1′(x)(1 + x²)ⁿ − 2 n x q_n − 1(x)(1 + x²)^n − 1}_{(1 + x²)²ⁿ}
	= (n − 1)! ^{− n q_n − 2(x) (1 + x²) − 2 n x q_n − 1(x)}_{(1 + x²)^n + 1}
	= n! ^q_n(x)_{(1 + x²)ⁿ.}

Die Frage betrifft letztendlich die höheren Ableitungen der rationalen Funktion 1/(1 + x²). Der Arkustangens kommt „nur“ durch arctan′(x) = 1/(1 + x²) ins Spiel. Unabhängig davon haben die q_n-Polynome interessante Eigenschaften. Normieren wir (Leitkoeffizient wird 1) die q_n-Polynome durch

p_n(x) = ^(−1)ⁿ_n + 1 q_n(x) für alle n ≥ 0 und x  ∈  ℝ,

so gilt

(+) p_n′ = (−1)^n − 1 q_n − 1 = n p_n − 1 für alle n ≥ 1.

Der Leser vergleiche dies mit der Ableitung d/dx xⁿ = n x^n − 1 für die Monome. Eine Folge (r_n)_n ≥ 0 von Polynomen mit r_n′ = n r_n − 1 für alle n ≥ 1 ist in der Literatur als Appell-Folge bekannt. Nach (+) bilden die p_n-Polynome wie die Monome xⁿ eine Appell-Folge.