Das Krümmungsverhalten
Neben Monotonie und Extrema ist vor allem die Krümmung einer Funktion von Interesse. Sie wird durch die Lage der Funktion bzgl. ihrer Sekanten beschrieben:
Definition (konvex, konkav)
Sei f : I → ℝ. Dann heißt f konvex (konkav), falls für alle a < b in I gilt:
f ist auf ] a, b [ kleinergleich (größergleich) der Geraden durch (a, f (a)) und (b, f (b)).
Gilt < (>) statt ≤ (≥) so heißt f streng konvex (streng konkav).
Neben den international üblichen Begriffen konvex und konkav spricht man im Deutschen anschaulich auch von linksgekrümmten bzw. rechtsgekrümmten Funktionen. Die Richtung entspricht dem Abfahren des Graphen von f von −∞ nach ∞.
Die Einheitsparabel x2 ist streng konvex. Sie liegt unterhalb jeder Strecke, die zwei ihrer Punkte miteinander verbindet.
Beispiele
Die Exponentialfunktion exp ist streng konvex. Die Quadratwurzelfunktion ist streng konkav. Die Identität x ist konvex und konkav. Die Funktion x3 ist weder konvex noch konkav.
Ist die Funktion f konvex, so ist −f konkav und umgekehrt. Bei der Untersuchung der Krümmung können wir uns also auf einen Typ konzentrieren.
Das Krümmungsverhalten einer Funktion verhält sich zur zweiten Ableitung so wie das Monotonieverhalten zur ersten Ableitung:
Satz (zweite Ableitung und Krümmung)
Sei f : I → ℝ zweimal differenzierbar. Dann gilt:
(a) | f ″ ≥ 0 genau dann, wenn f ist konvex. |
(b) | f ″ > 0 impliziert f ist streng konvex. |
(c) | f ″ ≤ 0 genau dann, wenn f ist konkav. |
(d) | f ″ < 0 impliziert f ist streng konkav. |
Ein Wechsel im Monotonieverhalten markiert ein lokales Extremum. Analog markiert ein Wechsel im Krümmungsverhalten einen Wendepunkt:
Definition (Wendepunkt)
Sei f : I → ℝ stetig und p ∈ I. Dann besitzt f an der Stelle p einen Wendepunkt, falls f links und rechts von p ein unterschiedliches Krümmungsverhalten aufweist, d. h. dort konkav bzw. konvex ist oder umgekehrt. Gilt zudem f ′(p) = 0, so besitzt f an der Stelle p einen Terassenpunkt.
Der Arkustangens hat zum Beispiel bei 0 eine Wendestelle. Die Funktion x3 weist dort einen Terassenpunkt auf. Besitzt eine zweimal differenzierbare Funktion f in p einen Wendepunkt, so gilt notwendig f ″(p) = 0. Die Wendepunkte sind also unter den Nullstellen der zweiten Ableitung von f zu suchen.
Wendepunkte und zugehörige Tangenten unseres Polynoms f. In den vier durch die Wendestellen definierten Intervallen ist f rechts-, links, rechts bzw. links gekrümmt.