Krümmungskreise

 Die zweite Ableitung einer Funktion f spiegelt die Änderung des Steigungsverhaltens von f wider. Eine Änderung des Steigungsverhaltens bewirkt anschaulich eine Änderung der Krümmung des Graphen von f. Dass f ″(p) kein direktes Maß für die Krümmung von f an der Stelle p ist, zeigen zum Beispiel die Einheitsparabel oder der Kreisbogen $\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}$ auf ] −1, 1 [: Die Parabel ist anschaulich nicht konstant gekrümmt, hat aber eine konstante zweite Ableitung. Und für den Kreisbogen ist es genau umgekehrt.

 Ein Maß für die Krümmung von f an der Stelle p erhalten wir, indem wir an den Graphen von f einen Kreis anlegen, der durch den Punkt (p, f (p)) verläuft und dort die Funktion f möglichst gut approximiert (vgl. Tangenten und Schmiegeparabeln). Einem Kreis mit Radius r ordnen wir die Krümmung 1/r zu, da die Krümmung mit größeren Radien abnehmen soll. Hat nun der approximierende Kreis den Radius r, so soll f an der Stelle p die Krümmung ±1/r zugeordnet werden, je nachdem, ob f links- oder rechtsgekrümmt ist. Der Kreismittelpunkt liegt entsprechend auf der linken bzw. rechten Seite von f.

 Zur Berechnung des besten Radius nehmen wir f als konvex an und setzen

v  =  (1, f ′(p)),  c  =  $\sqrt{1+\text{f\hspace{0.05em}′}(\mathrm{p}){\mathrm{}}^2}$,  w  =  1/c rot_π/2(v)  =  1/c (−f ′(p), 1).

Der Vektor w hat die Länge 1, und er steht senkrecht auf dem Richtungsvektor v der Tangente von f an der Stelle p. Wir setzen nun

M(r)  =  (x_r, y_r)  =  (p, f (p))  +  r w  für alle r > 0.

Die Aufgabe ist, r so einzustellen, dass sich der Kreis K(r) mit Mittelpunkt M(r) und Radius r bestmöglich an f im Punkt (p, f (p)) anschmiegt. Wir stellen hierzu die untere Hälfte von K(r) durch die Funktion g_r : I(r) → ℝ dar mit

g_r(x)  =  y_r  −  $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2}$  für alle x  ∈  I(r) = ] x_r − r, x_r + r [.

Die Funktion g_r stimmt für alle r > 0 an der Stelle p mit f (p) überein. Weiter gilt

g_r′(x)  =  $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}}{\sqrt{{\mathrm{r}}^2-(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2}}$  für alle x  ∈  I(r).

Wegen

p − x_r  =  r/c f ′(p)  und  c² − f ′(p)² = 1

gilt g_r(p)′ = f ′(p) für alle r > 0. Bis jetzt sind alle Radien gleich gut. Den gesuchten optimalen Radius erhalten wir, indem wir g_r″(p) = f ″(p) fordern. Die Funktion hat dann an der Stelle p die Krümmung 1/r des Halbkreises g_r.

 Ausrechnen liefert den erfreulich überschaubaren Wert

f ″(p)  =  g_r″(p)  =  $\frac{{\mathrm{r}}^2}{{\left({\mathrm{r}}^2-(\mathrm{p}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2\right)}^{3/2}}$  =  ^c3_r.

Im Fall f ″(p) ≠ 0 ergibt sich r = c³/f ″(p) und

M(r)  =  (p, f (p))  +  ^r_c(−f ′(p), 1)  =  (p, f (p))  +  ^c2_f ″(p)(−f ′(p), 1).

Ist f ″(p) = 0, so erhalten wir keinen Krümmungsradius, die Funktion ist in diesem Fall an der Stelle p nicht gekrümmt.

 Eine konkave (rechtsgekrümmte) Funktion behandeln wir analog, wobei wir nun v im Uhrzeigersinn drehen, da der gesuchte Kreismittelpunkt rechts von f liegt. Wir erhalten f ″(p) = −c³/r. Die rechte Seite der Formel für den Mittelpunkt M(r) bleibt gleich, da f ″(p) im Nenner negativ ist.

 Diese Überlegungen motivieren:

 In den Krümmungsradius geht neben der zweiten Ableitung f ″(p) also auch die erste Ableitung f ′(p) ein.

 Zur Illustration der Formeln zeichnen wir noch die Krümmung k = k_f als Funktion für einige f, d. h. es gilt k(x) = f ″(x)/(1 + f ′(x)²)^3/2.