Stammfunktionen

Definition (Stammfunktion)

Sei f : P → ℝ. Dann heißt eine Funktion F : P → ℝ eine Stammfunktion von f, falls F′ = f.

Wir möchten zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion finden. Für einfache Funktionen wie Polynome ist dies noch leicht möglich, aber im Allgemeinen ist diese Aufgabe weitaus schwieriger als das Problem der Bestimmung der Ableitung. Der Leser denke etwa an Funktionen wie f = log oder f = log ∘ log, für die eine Stammfunktion nicht unmittelbar ersichtlich ist. Weiter zeigen Funktionen wie 1/x und 1/(1 + x²), dass relativ einfache Funktionen komplizierte Stammfunktionen besitzen können, in diesem Fall die Funktionen log und arctan. Während die Ableitung einer rationalen Funktion stets wieder eine rationale Funktion darstellt, ist eine Stammfunktion einer rationalen Funktion im Allgemeinen keine rationale Funktion mehr. Anders formuliert: Stammfunktionen rationaler Funktionen müssen auch außerhalb der rationalen Funktionen gesucht werden. Analog wird sich zeigen, dass nicht jede elementare Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt: Stammfunktionen elementarer Funktionen müssen auch außerhalb der elementaren Funktionen gesucht werden.

Zwei wichtige Beobachtungen sind:

(1)	Ist F eine Stammfunktion von f und c  ∈  ℝ, so ist auch F + c eine Stammfunktion von f.

(2)	Sind F und G Stammfunktionen von f, so gilt (F − G)′ = f − f = 0, sodass ein c  ∈  ℝ existiert mit F − G = c.

Kurz:

Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt.

Drei Stammfunktionen einer Funktion f