Unbestimmte Integrale

Bevor wir die Integrationsregeln besprechen, führen wir noch eine nützliche Notation ein.

Notation

Sei I ⊆ ℝ ein (beschränktes oder unbeschränktes) Intervall und sei f : I → ℝ derart, dass f auf jedem beschränkten Intervall [ a, b ] ⊆ I integrierbar ist. Weiter besitze f eine Stammfunktion. Dann bezeichnen wir mit

I(f) oder ∫ f(unbestimmtes Integral)

irgendeine Stammfunktion von f.

Da eine Stammfunktion nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, müssten wir genauer das unbestimmte Integral über f als die Menge aller Stammfunktionen von f definieren. Unsere Notation ist aber einfacher und in der Regel ungefährlich. Alternativ ist auch die „+ c“-Schreibweise möglich.

Nach dem Hauptsatz gilt für alle a, b im Definitionsbereich von f:

∫^b_a f = ${(\int f)|}_{a}^{b}$ = F(b) − F(a)

für jede auf [ a, b ] definierte Stammfunktion F von f.

Nach Definition gilt

(∫ f) ′ = f.

Ist f stetig differenzierbar (sodass f ′ stetig ist und damit eine Stammfunktion von f existiert), so gilt

∫ f ′ = f.

In der alternativen Notation lesen sich die Zusammenhänge als

I(f)′ = f und I(f′) = f bzw. D(I(f)) = f und I(D(f)) = f.

Beispiele

(1)	∫ 0 = 1, ∫ 0 = c für alle c  ∈  ℝ.

(2)	∫ 1 dx = x, ∫ x = x²/2.

(3)	∫ sin x dx = − cos x.

(4)

Bei der Integration von Funktionen, die durch Terme definiert sind, ist die fehlende Angabe des Definitionsbereichs zuweilen gefährlich. So gilt zum Beispiel

$\int \frac{1}{x} dx = { \begin{matrix} log (x) & falls x > 0, \\ log (- x) & falls x < 0. \end{matrix}$

Man kann dies durch

∫ ¹_x dx = log | x |

zusammenfassen.

Prinzipiell muss aber immer ein Intervall, auf dem die zu integrierende Funktion definiert ist, gegeben sein. Das unbestimmte Integral ist nur für Funktionen erklärt, die auf einem Intervall definiert sind. Ist kein Intervall explizit angegeben, so geht es aus dem Kontext hervor oder die Überlegungen gelten für jedes Intervall, auf dem der Integrationsterm eine Funktion definiert.