Linearität
Die einfachste Integrationsregel ist die Linearität: Existieren die unbestimmten Integrale von f, g : I → ℝ und sind c, d ∈ ℝ, so gilt
∫c f (x) + d g(x) dx = c ∫f (x) dx + d ∫g(x) dx.
Die Regel ergibt sich aus der Linearität der Ableitung: Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, so gilt
(c F + d G)′ = c F′ + d G′ = c f + d g.
Die Linearität ist bei der Berechnung von Integralen ständig im Einsatz. Besonders nützlich ist sie bei der Integration rationaler Funktionen im Zusammenspiel mit der Partialbruchzerlegung:
Beispiel
Mit Hilfe von Partialbruchzerlegung berechnen wir für x > 1:
| ∫ 2x2 + 1(x − 1)3 dx | = ∫3(x − 1)3 + 4(x − 1)2 + 2x − 1 dx |
| = ∫3(x − 1)3 dx + ∫4(x − 1)2 dx + ∫2x − 1 dx | |
| = −32 (x − 1)2 + −4x − 1 + 2 log(x − 1) | |
| = −8x + 52 (x − 1)2 + 2 log(x − 1). |