Nichtelementare Integrale

 Während die Ableitung einer elementaren Funktion stets eine elementare Funktion ist, ist das Integral einer elementaren Funktion im Allgemeinen nicht mehr elementar. Die Situation ist vergleichbar mit den rationalen Funktionen: Die Ableitung einer rationalen Funktion ist stets eine rationale Funktion, bei der Integration rationaler Funktionen tauchen aber nichtrationale Funktionen auf, allen voran der Logarithmus und Arkustangens. Analog reichen die elementaren Funktion nicht aus, um alle elementaren Funktionen integrieren zu können. Es müssen neue Funktionen eingeführt werden, so wie der Logarithmus und der Arkustangens neu für die Welt der rationalen Funktionen sind. Man kann zeigen, dass die folgenden elementaren Funktionen keine elementaren Stammfunktionen besitzen:

^sin x_x,  ^sin x_x²,  sin(x²),  ¹_log x, 

exp(− x²/2),(Gaußsche Glockenkurve)

$\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{x}}$  für  k  ∈  ] 0, 1 [.

Die Integration dieser und vieler weiterer Funktionen führt zur Einführung spezieller Funktionen (und zugehöriger numerischer Berechnungsverfahren), die die Klasse der elementaren Funktionen erweitern.

 Die folgenden Diagramme zeigen einige der genannten Funktionen samt nichtelementaren Stammfunktionen.

 Die Gaußsche Glockenkurve und das zugehörige Fehlerintegral spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine sehr wichtige Rolle. Wir werden im fünften Abschnitt die Fläche unter der Glockenkurve als $\sqrt{2\mathrm{\pi }}$ berechnen.

 Bedeutsam in der Theorie der nichtelementaren Funktionen sind weiter Integranden der Form

$\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{x}}$  für  k  ∈  ] 0, 1 [.

Sie tauchen insbesondere bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen auf. Auch hierauf werden wir im fünften Abschnitt zurückkommen.