Axiome für die Addition und Multiplikation
Die reellen Zahlen ℝ sind eine Menge, auf der eine Addition + und eine Multiplikation · erklärt ist. Die Addition und Multiplikation sind zweistellige Operationen auf ℝ, d. h. für alle reellen Zahlen x und y ist x + y und x · y wieder eine reelle Zahl. Weiter gibt es es zwei ausgezeichnete Elemente 0 und 1 in ℝ. Für alle x, y, z ∈ ℝ gilt:
(K1) | x + (y + z) = (x + y) + z | Assoziativgesetz für + |
(K2) | x + 0 = x | Neutralität von 0 |
(K3) | ∃x′ x + x′ = 0 | Inverse für + |
(K4) | x + y = y + x | Kommutativgesetz für + |
(K5) | x · (y · z) = (x · y) · z | Assoziativgesetz für · |
(K6) | x · 1 = x | Neutralität von 1 |
(K7) | x ≠ 0 → ∃x′ x · x′ = 1 | Inverse für · |
(K8) | x · y = y · x | Kommutativgesetz für · |
(K9) | x · (y + z) = (x · y) + (x · z) | Distributivgesetz |
(K10) | 0 ≠ 1 | Verschiedenheit von 0 und 1 |
Die Aussagen (K1) − (K10) werden auch als Körperaxiome für ℝ bezeichnet. Wir sagen auch, dass ℝ mit + und · und den Elementen 0, 1 einen Körper bildet.