Reelle Funktionen

Definition (reelle Funktion)

Eine Funktion f der Form f : A → ℝ mit A ⊆ ℝ heißt reelle Funktion.

Da wir eine Funktion mit ihrem Graphen identifizieren, gilt

f = Graph(f) ⊆ A × f [ A ] ⊆ ℝ × ℝ = ℝ² = { (x, y) | x, y  ∈  ℝ }.

Eine reelle Funktion können wir mit Hilfe der graphischen Methode visualisieren, indem wir sie als Teilmenge der Anschauungsebene zeichnen.

Zu den wichtigsten Stellen einer Funktion gehören die Nullstellen:

Definition (Nullstelle)

Sei f : A → ℝ eine reelle Funktion. Weiter sei x  ∈  A mit f (x) = 0. Dann heißt x eine Nullstelle von f.

Oft ist auch das Wachstumsverhalten einer reellen Funktion von Interesse. Es beschreibt, ob und wie die Ordnung zwischen zwei Stellen beim Übergang zu den Funktionswerten erhalten bleibt:

Definition (Monotoniebegriffe)

Sei f : A → ℝ eine reelle Funktion. Dann heißt f

streng monoton steigend,	falls f (x) < f (y)
monoton steigend,	falls f (x) ≤ f (y)
streng monoton fallend,	falls f (x) > f (y)
monoton fallend,	falls f (x) ≥ f (y)

für alle x, y  ∈  A mit x < y gilt.

Statt „steigend“ sagt man gleichwertig auch „wachsend“, wobei dies nicht so gut zu „fallend“ passt. Streng monotone Funktionen sind injektiv und lassen sich daher umkehren.

Wichtig sind die folgenden Symmetrieeigenschaften:

Definition (gerade und ungerade Funktionen)

Sei f : A → ℝ eine reelle Funktion. Dann heißt f gerade, falls für alle x  ∈  A gilt, dass f (x) = f (−x). Weiter heißt f ungerade, falls für alle x  ∈  A gilt, dass f (x) = −f (−x).

Ein Ausdruck f (x) = y beinhaltet immer, dass x ein Element des Definitionsbereichs der Funktion f ist. Für eine gerade oder ungerade Funktion f : A → ℝ ist also mit x immer auch −x ein Element von A. Der Definitionsbereich ist symmetrisch hinsichtlich des Nullpunkts.

Intervalle

Der Definitionsbereich A einer reellen Funktion f : A → ℝ kann eine beliebige Menge reeller Zahlen sein. Oft hat A aber eine einfache Struktur. Wir definieren hierzu und für vieles andere:

Definition (Intervall)

Eine Teilmenge I von ℝ heißt ein Intervall, falls für alle a, b  ∈  I mit a < b gilt:

Für alle c  ∈  ℝ mit a < c < b ist c  ∈  I.

Mit je zwei Punkten enthält ein Intervall auch alle dazwischen liegenden Punkte. Es treten die folgenden Typen auf:

Definition (Intervalltypen)

Wir setzen für alle a, b  ∈  ℝ:

[ a, b ]	= { x  ∈  ℝ \| a ≤ x ≤ b },	[ a, b [	= { x  ∈  ℝ \| a ≤ x < b },
] a, b ]	= { x  ∈  ℝ \| a < x ≤ b },	] a, b [	= { x  ∈  ℝ \| a < x < b },
[ a, ∞ [	= { x  ∈  ℝ \| a ≤ x },	] a, ∞ [	= { x  ∈  ℝ \| a < x },
] −∞, a ]	= { x  ∈  ℝ \| x ≤ a },	] −∞, a [	= { x  ∈  ℝ \| x < a },
] −∞, ∞ [	= ℝ.

Intervalle der Form

] a, b [ , [ a, b ], ] a, b ] und [ a, b [ mit a, b  ∈  ℝ ∪ { ∞, ± ∞ }

heißen offen, abgeschlossen bzw. halboffen. In allen Fällen heißen a und b die Grenzen des Intervalls. Ist eine Grenze ein symbolischer Unendlichkeitswert, so spricht man auch von einem uneigentlichen Intervall.

Spezialfälle sind abgeschlossene Intervalle der Form [ a, a ] = { a }, die nur aus einem Punkt bestehen. Auch die leere Menge ∅ ist ein Intervall. Denn für alle a  ∈  ℝ ist ∅ = ] a, a [.

Definition (spezielle Mengen reeller Zahlen)

Wir setzen:

ℝ⁺₀	= [ 0, ∞ [ = { x  ∈  ℝ \| x ≥ 0 },
ℝ⁺	= ] 0, ∞ [ = { x  ∈  ℝ \| x > 0 },
ℝ*	= ] −∞, 0 [ ∪ ] 0, ∞ [ = { x  ∈  ℝ \| x ≠ 0 }.

Die Definitions- und Wertebereiche aller elementaren Funktionen der Analysis sind entweder Intervalle oder Vereinigungen von Intervallen wie ℝ*.

Betrag und Vorzeichen

Wir definieren noch zwei spezielle auf ganz ℝ definierte reelle Funktionen.

Definition (Betrag und Vorzeichen)

Die Betragsfunktion | ∙ | : ℝ → ℝ und die Vorzeichenfunktion sgn : ℝ → ℝ sind definiert durch

$|x| = { \begin{matrix} x & falls x \geq 0, \\ - x & sonst. \end{matrix}$

$sgn (x) = { \begin{matrix} 1 & falls x > 0, \\ 0 & falls x = 0, \\ - 1 & sonst. \end{matrix}$

Die reellen Zahlen |x| und sgn(x) heißen der Betrag bzw. das Vorzeichen oder Signum von x.

Die Betragsfunktion haben wir mit Hilfe der Punkt- oder Platzhalternotation in der Form | ∙ | : ℝ → ℝ definiert, da ihre Funktionswerte nicht in der klassischen funktionalen Schreibweise f (x) angegeben werden. Analog lassen sich die Quadratfunktion (∙)² : ℝ → ℝ und die Wuzelfunkton $\sqrt{∙}$ : [ 0, ∞ [ → ℝ behandeln.

Die Betragsfunktion ist gerade, die Signumsfunktion ungerade. Für alle reellen Zahlen x, y gilt:

(a)	x = sgn(x) \|x\|,

(b)	\|x y\| = \|x\| \|y\|,

(c)	\|x + y\| ≤ \|x\| + \|y\|.(Dreiecksungleichung)

Nützlich ist zuweilen die Version sgn₂ : ℝ → ℝ der Vorzeichenfunktion mit

${sgn}_{2} (x) = { \begin{matrix} 1 & falls x \geq 0, \\ - 1 & sonst. \end{matrix}$

Eine weitere Funktion im Umfeld der Vorzeichenfunktion ist die Heaviside-Funktion Θ : ℝ → ℝ. Sie ist definiert durch

$Θ (x) = { \begin{matrix} 1 & falls x \geq 0, \\ 0 & sonst. \end{matrix}$

In der Literatur wird die Heaviside-Funktion an der Stelle 0 oft gar nicht oder auch durch Θ(0) = 1/2 definiert. Mit Θ(0) = 1/2 gilt

Θ(−x) = 1 − Θ(x) für alle x  ∈  ℝ.