Zur Definition von Funktionen durch Terme
Eine reelle Funktion wird oft durch Terme definiert. Wir können zum Beispiel f : ℝ → ℝ definieren durch
(+) f (x) = x2 + 2x − 1 für alle x ∈ ℝ.
Ein Term ist ein aus Variablen, Konstanten und bestimmten kontextabhängigen Grundfunktionen (wie +, ·, sin, cos, …) aufgebauter syntaktischer Ausdruck (eine Zeichenkette), den wir für bestimmte (vom Term abhängige) Objekte auswerten können. Zwischen Variablensymbolen, reellen Zahlen, Termen, Termauswertungen und den dadurch erklärten Funktionen wird speziell in der Analysis oft nicht streng unterschieden. Statt
„die durch den Term 1/x durch Auswertung definierte Funktion auf ℝ − { 0 }“
sagt man zum Beispiel oft einfach
„die Funktion 1/x“.
Dies ist in zweierlei Hinsicht problematisch:
(1) | 1/x ist ein Term (ein syntaktischer Ausdruck) und keine Funktion. |
(2) | Der Definitionsbereich der Funktion ist nicht eindeutig spezifiziert. |
Wenn man sich dieser Probleme bewusst ist (und nur dann), kann man zur Vereinfachung der Sprechweise vereinbaren, dass eine Funktion mit einem Term verwechselt werden darf. Wichtig ist dabei:
Konvention: Terme als Funktionen
(1) | Wird ein Term als reelle Funktion bezeichnet, so ist die durch den Term definierte Funktion f : A → ℝ mit maximalem reellen Definitionsbereich A gemeint. |
(2) | Ein kleinerer Definitionsbereich A′ muss explizit durch einen Zusatz „auf A′“ angegeben werden. |
g
Beispiele
(1) | Die Funktion sin(x2) ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = sin(x2) für alle x ∈ ℝ. |
(2) | Die Funktion 1/x ist die Funktion g : ℝ − { 0 } → ℝ mit g(x) = 1/x für alle x ≠ 0. |
(3) | Die Funktion 1/x auf ℝ+ ist die Funktion h : ℝ+ → ℝ mit h(x) = 1/x für alle x > 0. |
Bemerkung: f oder f (x)?
Die häufige Definition von Funktionen durch Terme in der bevorzugten Variablen x hat dazu geführt, dass eine reelle Funktion f : A → ℝ oft als f (x) und nicht nur als f bezeichnet wird. Diese Notation kann irreführend sein. Die Funktion als mathematisches Objekt ist f. Bezeichnet f (x) einen Term in der Variablen x, so ist f (x) eine Funktion, wenn wir wie beschrieben Terme mit der durch sie definierten Funktion identifizieren. Wichtig ist, dass der Name der Variable austauschbar ist. Die durch den Term x2 auf ℝ definierte Funktion f ist identisch mit der durch y2 oder t2 definierten Funktion auf ℝ. Umgekehrt ist der Funktionsname beliebig, sodass wir zum Beispiel die durch x2 definierte Funktion mit f, g, F, G, sq, (∙)2, … bezeichnen können.