Inhalt
Vorwort
Vorbereitungen
1. Abschnitt Elementare Funktionen
1. Geraden
Geraden und ihre Parameter
Die Gerade durch zwei gegebene Punkte
Die Steigungsform
Die Tangente einer differenzierbaren Funktion
Übungen
2. Parabeln
Parabeln und ihre Parameter
Die Einheitsparabel und die Wurzelfunktion
Parabeln mit Parameter b = 0
Überführung in Scheitelform
Bestimmung der Nullstellen
Parabeln mit vorgegebenen Nullstellen
Die Parabel durch drei gegebene Punkte
Brennpunkt und Leitlinie
Das Problem der Winkeldrittelung
Kreise, Ellipsen und Hyperbeln
Übungen
3. Polynome
Polynome und ihr Grad
Koeffizientenvergleich für Polynome
Die Polynomdivision
Abspalten von Linearfaktoren
Die geometrische Summe und die geometrische Reihe
Entwicklung eines Polynoms in einem Punkt
Polynome durch gegebene Punkte
Grenzwertverhalten von Polynomen
Übungen
4. Rationale Funktionen
Rationale Funktionen und ihre Definitionsbereiche
Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken
Die Partialbruchzerlegung
Übungen
5. Die Exponentialfunktion
Charakterisierung der Exponentialfunktion
Das Additionstheorem
Reihendarstellung der Exponentialfunktion
Die Limesdarstellung der Exponentialfunktion
Der natürliche Logarithmus
Die allgemeinen Exponentialfunktionen
Die Potenzfunktionen
Die allgemeinen Logarithmen
Übungen
6. Die trigonometrischen Funktionen
Kosinus und Sinus am Einheitskreis
Eigenschaften von Kosinus und Sinus
Drehungen und Additionstheoreme
Weitere trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Größen in rechtwinkligen Dreiecken
Übungen
7. Arkusfunktionen und Polarkoordinaten
Die Arkusfunktionen
Winkelberechnungen bei Geraden
Polarkoordinaten
Die Koordinatenabbildungen
Übungen
8. Die hyperbolischen Funktionen
Die Paritäts-Zerlegung einer Funktion
Kosinus und Sinus Hyperbolicus
Weitere hyperbolische Funktionen
Die Areafunktionen
Übungen
2. Abschnitt Der analytische Kalkül
1. Differentialquotienten und lineare Approximation
Differenzierbarkeit an einer Stelle
Der Approximationssatz
Die Landau-Notation
Differenzierbarkeit an allen Stellen
Die Regeln von l’Hospital
Übungen
2. Ableitungsregeln
Die Regeln
Einfache Ableitungen
Ableitung von Kosinus und Sinus
Ableitung der trigonometrischen Funktionen
Ableitung der hyperbolischen Funktionen
Einfache Differentialgleichungen
Potenzreihendarstellungen für den Kosinus und Sinus
Die Ableitungen des Arkustangens
Übungen
3. Die Taylor-Entwicklung
Schmiegeparabeln
Taylor-Polynome
Taylor-Reihen
Übungen
4. Monotonie und Krümmung
Kritische Punkte und lokale Extrema
Das Krümmungsverhalten
Krümmungskreise
Die dritte Ableitung
Nullstellensuche
Übungen
5. Integration
Stammfunktionen
Das Riemann-Integral
Eigenschaften des Integrals
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Zum Beweis des Hauptsatzes
Uneigentliche Integrale
Übungen
6. Integrationsregeln
Unbestimmte Integrale
Linearität
Partielle Integration
Die Substitutionsregel
Elimination trigonometrischer Funktionen
Weitere Integrationsregeln
Nichtelementare Integrale
Ausblick: Nichtelementare Umkehrfunktionen
Übungen
Anhänge
1. Mathematische Texte
Elemente mathematischer Texte
Das Erlernen der Sprache
2. Ein Satz und sein Beweis
3. Vollständige Induktion
4. Axiome für die reellen Zahlen
Axiome für die Addition und Multiplikation
Die Ordnungsaxiome
Das Vollständigkeitsaxiom
5. Grundlagen über reelle Funktionen
Der Funktionsbegriff
Reelle Funktionen
Zur Definition von Funktionen durch Terme
Punktweise Operationen mit reellen Funktionen
6. Notationen
7. Index