Vorbereitungen

Wir stellen in knapper Form einige Grundlagen zusammen. Für eine ausführlichere Darstellung der Themen „Logik, Mengen, Relationen, Funktionen“ verweisen wir den Leser auf die Anhänge der beiden Bände sowie auf die weiterführende Literatur.

Die Gleichheit/Identität

 a = b bedeutet: Das Objekt a ist gleich dem Objekt b, a ist identisch mit b. Ist a ungleich b, so schreiben wir a ≠ b.

Die Elementbeziehung

 a  ∈  A bedeutet: a ist ein Element der Menge A, a ist in der Menge A als Element enthalten. Ist a kein Element der Menge A, so schreiben wir a  ∉  A.

Mengen

 A = { a | ℰ(a) } bedeutet: A ist die Menge aller Objekte a mit der Eigenschaft ℰ(a). Ist dies der Fall, so gilt für alle a: a  ∈  A genau dann, wenn ℰ(a). Zahlreiche Varianten dieser Notation sind im Umlauf. So bedeutet A = { a  ∈  B | ℰ(a) }, dass A = { a | a  ∈  B und ℰ(a) }.

 A = { a₁, …, a_n } bedeutet: A ist die Menge, deren Elemente genau die Objekte a₁, …, a_n sind, d. h. A = { a | a = a₁ oder … oder a = a_n }. Speziell heißen

∅ = { } = { a | a ≠ a } die leere Menge,

{ a } eine Einermenge, und

{ a, b } eine ungeordnete Paarmenge.

Es gilt { a, b } = { b, a } = { a, b, a } = …, da es in Mengen weder auf die Reihenfolge noch auf Wiederholungen ankommt. Ist a = b, so gilt { a, b } = { a } = { b }. Zu unterscheiden von der Paarmenge { a, b } ist das geordnete Paar oder Tupel (a, b). Zwei Tupel (a, b) und (c, d) sind genau dann gleich, wenn a = c und b = d. Analoges gilt für Tripel (a, b, c) und allgemeine n-Tupel (a₁, …, a_n).

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Teilmengen

 A ⊆ B bedeutet: A ist eine Teilmenge von B, d. h. jedes Element von A ist ein Element von B. Ist A eine Teilmenge von B und A ≠ B, so heißt A eine echte Teilmenge von B und wir schreiben A ⊂ B. Sind A und B Mengen, so gilt A = B genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A.

Angabe von Funktionen in der Form f : A → B

 f : A → B bedeutet: f ist eine Funktion von der Menge A in die Menge B. Ist dies der Fall, so gibt es für alle a  ∈  A ein eindeutiges b  ∈  B mit f (a) = b. Wir sagen dann auch, dass b der Funktionswert von f an der Stelle a ist. Die Menge A heißt der Definitionsbereich von f, die Menge B ein Wertevorrat von f. Die Menge f [ A ] = { f (a) | a  ∈  A } aller Funktionswerte nennen wir den Wertebereich von f. Der Wertebereich f [ A ] ist eine Teilmenge des Wertevorrats B. Weiter heißt Graph(f)  =  { (a, f (a)) | a  ∈  A } der Graph von f. Wir folgen der Konvention, eine Funktion mit ihrem Graphen zu identifizieren, d. h. es gilt f = Graph(f). Ein Wertevorrat ist bei dieser Konvention nicht eindeutig bestimmt.

Junktoren und Quantoren

 Die wichtigsten Junktoren und ihre Zeichen sind: Die Negation „nicht/non“ (¬), die Konjunktion „und“ (∧), die (nicht ausschließliche) Disjunktion „oder“ (∨), die Implikation „impliziert“/„aus … folgt …“ (→) und die Äquivalenz „genau dann, wenn“ (↔). Die wichtigsten Quantoren und ihre Zeichen sind: Der Allquantor „für alle“ (∀), und der Existenzquantor „es gibt (mindestens) ein“ (∃).

Zahlen

 Wir setzen das Zahlsystem

ℕ  ⊂  ℤ  ⊂  ℚ  ⊂  ℝ

von den natürlichen Zahlen über die ganzen und rationalen Zahlen bis zu den reellen Zahlen als bekannt voraus, wobei zunächst ein schulisch-naives Grundwissen genügt. Im Verlauf der Darstellung werden wir die wesentlichen Eigenschaften dieses Systems thematisieren und genauer untersuchen, insbesondere im Hinblick auf die reellen Zahlen ℝ.

 Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Null:

ℕ  =  { 0, 1, 2, 3, … }.

Wir setzen ℕ* = { 1, 2, 3, … }. Für die anderen Zahlenmengen gilt:

ℤ  =  { …, −2, −1, 0, 1, 2, … }  =  { ± n | n  ∈  ℕ },

ℚ  =  { m/n | m  ∈  ℤ, n  ∈  ℕ* },

ℝ  =  { ± n,d₁d₂d₃… (dezimal) | n  ∈  ℕ, d_k  ∈  { 0, …, 9 } für alle k ≥ 1 }.

Das Kreuzprodukt

 Sind A, B Mengen, so heißt die Menge

A × B  =  { (a, b) | a  ∈  A, b  ∈  B }

das Kreuzprodukt oder kartesische Produkt von A und B. Wir setzen

A²  =  A × A,  A³  =  A × A × A,  usw.

Für die Menge ℝ ergibt sich speziell

ℝ²  =  ℝ × ℝ  =  { (x, y) | x, y  ∈  ℝ },(Euklidische Ebene)

ℝ³  =  ℝ × ℝ × ℝ  =  { (x, y, z) | x, y, z  ∈  ℝ },(Euklidischer Raum)

und allgemein

ℝⁿ  =  { (x₁, …, x_n) | x₁, …, x_n  ∈  ℝ }  für alle n ≥ 1.

Ein Element von ℝⁿ nennen wir auch einen n-dimensionalen reellen Vektor.