Dichte Mengen
Reelle Zahlen lassen sich durch rationale Zahlen beliebig genau approximieren. Es gilt:
Satz (Dichtheit der rationalen Zahlen)
Seien x, y ∈ ℝ mit x < y. Dann gibt es ein q ∈ ℚ mit x < q < y.
Beweis
Wir setzen ε = y − x. Dann ist ε > 0. Folglich existiert ein n ≥ 1 mit 1/n < ε. Die ganzzahligen Vielfachen m · 1/n ∈ ℚ, m ∈ ℤ, von 1/n sind nach oben und unten unbeschränkt in ℝ und folgen aufeinander im Abstand 1/n, da
(m + 1) 1/n − m 1/n = (m + 1 − m) 1/n = 1/n für alle m ∈ ℤ.
Wegen 1/n < y − x muss also eines dieser Vielfachen zwischen x und y liegen. Speziell ist das maximale m ∈ ℤ mit m/n < y geeignet.
Allgemein definieren wir:
Definition (dicht)
Eine Menge D reeller Zahlen heißt dicht in ℝ, falls für alle x < y in ℝ ein z ∈ D existiert mit x < z < y.
Die rationalen Zahlen sind das Paradebeispiel für eine in ℝ dichte Menge. Aber auch
D = { ± n/2m | n, m ∈ ℕ }
ist dicht in ℝ. Und natürlich ist ℝ selbst dicht in ℝ.
Visualisierung der dichten Menge D