2. Grenzwerte für Folgen und Reihen
Wir definieren nun Grenzwerte von Folgen
(xn)n ∈ ℕ = (x0, x1, x2, …, xn, …)
und unendlichen Reihen
∑n ≥ 0 xn = x0 + x1 + x2 + … + xn + …
in den reellen Zahlen formal mit Hilfe der sogenannten Epsilontik. Diese Definitionsform wird heute in der Analysis zur Präzisierung aller Arten von Grenzwertbegriffen verwendet. Für eine Folge (xn)n ∈ ℕ reeller Zahlen wird
limn → ∞ xn = x
definiert durch die Konvergenzbedingung
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |x − xn| < ε.
Alle Eigenschaften des Grenzwertbegriffs, die wir bisher intuitiv verwendet haben, lassen sich mit Hilfe dieser Definition beweisen.