Unendliche Reihen
Wir haben schon mehrfach unendliche Summen der Form
(+) x0 + x1 + … + xn + …
betrachtet, sog. unendliche Reihen. Mit Hilfe des Grenzwerts für Folgen können wir die Konvergenz unendlicher Reihen präzisieren ohne weitere Grenzwertdefinitionen einzuführen. Dies erfolgt durch Betrachtung der Partialsummen
s0 = x0, s1 = x0 + x1, s2 = x0 + x1 + x2, …, sn = x0 + … + xn, …,
die auftreten, wenn wir die Summe (+) schrittweise berechnen.
Definition (Partialsumme, unendliche Reihe, Summe, Wert)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ. Für alle n ∈ ℕ sei
sn = x0 + … + xn = ∑k ≤ n xk
die n-te Partialsumme der Folge. Wir setzen
∑n ∈ ℕ xn = (sn)n ∈ ℕ
und nennen ∑n ∈ ℕ xn die unendliche Reihe mit den Summanden xn. Im Fall der Konvergenz der Folge der Partialsummen setzen wir zudem
∑n ∈ ℕ xn = limn sn.
Diesen Grenzwert nennen wir die Summe von (xn)n ∈ ℕ oder den Wert der unendlichen Reihe.
Notation
Neben ∑n ∈ ℕ xn verwenden wir gleichwertig auch die Notationen
∑∞n = 0 xn, ∑n ≥ 0 xn, ∑n xn, x0 + x1 + x2 + … + xn + …
Das Summenzeichen hat eine Doppelbedeutung: Für jede Folge (xn)n ∈ ℕ ist die unendliche Reihe ∑n xn definiert als die Folge (sn)n ∈ ℕ der Partialsummen der Folge. Konvergiert die Folge der Partialsummen, so bezeichnet ∑n xn auch den Grenzwert der Folge der Partialsummen. Die Bedeutung geht in der Regel aus dem Kontext hervor:
Beispiele
1. Bedeutung: „Die Reihe ∑n 1/2n konvergiert.“
2. Bedeutung: „Es gilt ∑n 1/2n = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2n + … = 2.“
1. Bedeutung: „Die Reihe ∑n (−1)n divergiert.“
Die Partialsummen sn der unendlichen Reihe ∑n 1/2n. Es gilt limn sn = 2 und damit ∑n 1/2n = 2.
Die Partialsummen sn der unendlichen Reihe ∑n (−1)n. Die Reihe ∑n (−1)n divergiert, da die Folge der Partialsummen divergiert.