Die geometrische Reihe
Sei q ∈ ℝ. Bei der Diskussion der Polynomdivision hatten wir bereits die geometrische Summe
q0 + … + qn = 1 − qn + 11 − q, falls q ≠ 1
betrachtet, die sich aus der (auch für q = 1 gültigen) Teleskop-Summe
(q0 + … + qn) (1 − q) = q0 − q1 + q2 − q2 + … − qn + 1 = 1 − qn + 1
ergibt. Die zugehörige unendliche Reihe ist
∑n qn = q0 + … + qn + …(geometrische Reihe)
Ihr Konvergenzverhalten wird zusammengefasst in:
Satz (Konvergenz der geometrischen Reihe)
Sei q ∈ ℝ. Ist |q| < 1, so ist ∑n qn konvergent und es gilt
∑n qn = 11 − q.
Ist |q| ≥ 1, so divergiert die Reihe ∑n qn.
Wir erinnern an den Beweis. Ist |q| < 1, so gilt
∑n qn = limn sn = limn 1 − qn + 11 − q = 11 − q,
wobei wir verwenden, dass
limn qn + 1 = limn qn = 0 (da |q| < 1).
Ist dagegen |q| ≥ 1, so gilt |sn + 1 − sn| ≥ 1 für alle n, sodass die Folge (sn)n ∈ ℕ der Partialsummen divergent ist.
Nützlich ist:
Geometrische Reihe ab dem Index 1
∑n ≥ 1 qn = q1 − q für alle |q| < 1.
Diese Formel ergibt sich aus
11 − q − q0 = 11 − q − 1 = q1 − q.
Die Folge der Partialsummen sn der geometrischen Reihe ∑n qn mit q = −2/3. Die Reihe konvergiert gegen 1/(1 − q) = 3/5.
Die Partialsummen sn der geometrischen Reihe ∑n qn mit q = −9/10. Die Reihe konvergiert (deutlich langsamer als oben) gegen 1/(1 − q) = 10/19.
Für positive q sind die Partialsummen der geometrischen Reihe ∑n qn streng monoton steigend. Für q ∈ [ 0, 1 ] konvergiert die Reihe. Strebt q im Intervall [ 0, 1 ] gegen 1, wird der Wert der Reihe beliebig groß, da dann 1/(1 − q) gegen unendlich konvergiert. Ab einschließlich q = 1 ist die geometrische Reihe uneigentlich konvergent gegen ∞.
Für negative q bilden die Partialsummen von ∑n qn eine rechtsstartende Pendelfolge. Für q ∈ ] −1, 0 [ konvergiert die Reihe mit Werten im Intervall ] 1/2, 1 [. Für q ≤ −1 ist die Reihe divergent und auch nicht uneigentlich konvergent. Für q = −1 ergibt sich 1, 0, 1, 0, … als Folge der Partialsummen. Die Formel 1/(1 − q) liefert für q = −1 den Wert 1/2, aber die Folge der Partialsummen divergiert.