Die harmonische Reihe

 Die harmonische Reihe ist die Reihe

∑_n ≥ 1 ¹_n  =  1  +  ¹₂  +  ¹₃  +  ¹₄  +  …

Die Partialsummen s_n dieser Reihe sind aufgrund der positiven Summanden streng monoton steigend. Das Wachstum ist jedoch sehr langsam. Durch folgende geistreiche Zusammenfassung von Summanden können wir sehen, dass die harmonische Reihe divergiert:

1  +  ¹₂  +  ¹₃  +  ¹₄  +  …

 =  1  +  ¹₂  +  (¹₃ + ¹₄)  +  (¹₅ + … + ¹₈)  +  (¹₉ + … + ¹₁₆)  +  …

 ≥  ¹₂  +  ¹₂  +  ¹₂  +  …  =  ∞.

 Die harmonische Reihe zeigt:

Eine Nullfolge positiver Summanden kann eine unendliche Summe besitzen.

 Man kann zeigen, dass die Folge der Partialsummen s_n = 1 + … + 1/n der harmonischen Reihe bis auf eine Konstante so wächst wie der natürliche Logarithmus. Es gilt

lim_n (s_n − log(n))  =  γ  =  0,57721… (Euler-Mascheroni-Konstante)

 In den Übungen werden wir sehen, dass

∑_n ≥ 1 ¹_n²  =  1  +  ¹₄  +  ¹₉  +  ¹₁₆  +  …

konvergiert. Euler zeigte, dass π²/6 der Wert dieser Reihe ist.

Allgemeiner konvergiert die Reihe

∑_n ≥ 1 ¹_n^k  =  1  +  ¹_2^k  +  ¹_3^k  +  …

für jedes k ≥ 2. Die Werte dieser Reihen konnten für gerade Exponenten k berechnet werden. So gilt zum Beispiel

∑_n ≥ 1 ¹_n⁴  =  ^π4₉₀,  ∑_n ≥ 1 ¹_n⁶  =  ^π6₉₄₅.

Für ungerade Exponenten k ist dagegen nur wenig bekannt. Ein einfacher Zusammenhang zwischen ∑_n ≥ 1 1/n³ und π³ scheint nicht zu bestehen.

 Eine unendliche Reihe, die noch langsamer divergiert als die harmonische Reihe, ist die Reihe der rezikroken Primzahlen. Es gilt

∑_{p prim} ¹_p  =  ¹₂  +  ¹₃  +  ¹₅  +  ¹₇  +  ¹₁₁  +  …  =  ∞.

Die Divergenz kann sowohl analytisch als auch kombinatorisch gezeigt werden. Das Wachstum entspricht bis auf eine Konstante dem Wachstum von log(log(x)). Die Konstante ist die mit γ verwandte Meissel-Mertens-Konstante M = 0,2614972128… Ein bemerkenswertes Ergebnis einer wunderbaren Theorie.