Links- und rechtsseitige Grenzwerte

 Oft möchte man „x strebt gegen p“ auf die linke oder rechte Seite der betrachteten Stelle p beschränken. Unsere Grenzwertdefinition kann leicht in dieser Hinsicht angepasst werden:

Definition (Grenzwert einer Funktion mit Nebenbedingung)

Der Grenzwert

limx ↑ p f (x)  =  limx → p, x < p f (x)  =  a

ist wie oben definiert, wobei nun nur x-Werte betrachtet werden, die kleiner als p sind. Wir nennen dann a den linksseitigen Grenzwert von f an der Stelle p und sagen, dass f gegen a strebt, wenn x von links oder von untengegen p strebt. Analog ist der rechtsseitige Grenzwert

limx ↓ p f (x)  =  limx → p, x > p f (x)  =  a

definiert, bei dem nur x-Werte größer als p betrachtet werden.

 Von der Stelle p wird bei einem linksseitigen Grenzwert immer vorausgesetzt, dass p ein linksseitiger Häufungspunkt von P ist, d. h. es gilt

∀δ > 0  P ∩ ] p − δ, p [ ≠ 0.

Analog betrachten wir rechtsseitige Grenzwerte naturgemäß nur dann, wenn p ein rechtsseitiger Häufungspunkt von P ist. Eine Annäherung an p von links bzw. rechts ist andernfalls innerhalb des Definitionsbereichs P von f gar nicht möglich.

 Die einseitigen Grenzwerte erlauben die folgende Charakterisierung der Stetigkeit:

Satz (Stetigkeit über einseitige Grenzwerte)

Sei f : P → ℝ und p  ∈  P. Dann sind äquivalent:

(a)

f ist stetig bei p.

(b)

limx ↑ p f (x)  =  f (p)  =  limx ↓ p f (x).

Dabei ist in (b) ein einseitiger Grenzwert zu streichen, wenn p kein entsprechender Häufungspunkt von P ist. Ist also zum Beispiel P = [ 0, 1 ] und p = 1, so vereinfacht sich die Bedingung zu

limx ↑ 1 f (x)  =  f (1).

 Die Aussage (b) können wir etwas salopp, aber dafür griffig, so formulieren:

Linksseitiger Grenzwert gleich Funktionswert gleich rechtsseitiger Grenzwert.

Beispiele

(1)

Für die Vorzeichenfunktion sgn gilt

limx ↑ 0 sgn(x)  =  −1,  limx ↓ 0 sgn(x)  =  1,  sgn(0)  =  0.

(2)

Sei f : ℝ → ℝ mit f (x) = 0 für alle x ≠ 0 und f (0) = 1. Dann gilt

limx ↑ 0 f (x)  =  limx ↓ 0 f (x)  =  0,  f (0)  =  1.

 Dass sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich a ist, können wir durch

limx → p, x ≠ p f (x)  =  a

zum Ausdruck bringen.

Bemerkung

Nach unserer Definition wird in

limx → p f (x)  =  a

der Punkt p bei der „Annäherung an p“ zugelassen, sofern er sich im Definitionsbereich von f befindet. Die Literatur ist hier nicht einheitlich, manchmal wird der Punkt p explizit ausgeschlossen, sodass „x → p“ nach unserer Lesart bedeutet, dass „x → p, x ≠ p“.