Uneigentliche Grenzwerte

 Auch bei Grenzwerten für Funktionen können wir für p und a die symbolischen Werte ∞ und −∞ zulassen. Hierzu setzen wir:

lim_x → ∞ f (x)  =  a,  falls  ∀ε > 0 ∃n ∀x  ∈  P (x ≥ n  →  |f (x) − a| < ε),

lim_x → p f (x)  =  ∞,  falls  ∀m ∃δ > 0 ∀x  ∈  P (|x − p| < δ  →  f (x) > m),

lim_x → ∞ f (x)  =  ∞,  falls  ∀m ∃n ∀x  ∈  P (x ≥ n  →  f (x) > m).

In „x → ∞“ nehmen wir immer an, dass P nach oben unbeschränkt ist. Grenzwerte, die den symbolischen Wert −∞ enthalten, werden analog definiert. Einen Grenzwert, der einen symbolischen Wert ∞ oder −∞ involviert, nennen wir auch einen uneigentlichen Grenzwert.

 Der Leser möge sich uneigentliche Grenzwerte für Funktionen wieder mit Hilfe von Rechtecken veranschaulichen. Die Rechtecke sind nun unbeschränkte Teilmengen der Ebene. Die Idee bleibt gleich.