Stetigkeits- und Unstetigkeitsbeweise
Die Stetigkeitsdefinitionen weisen komplexe Quantorenkombinationen auf. Wollen wir zeigen, dass eine Funktion f : P → ℝ an einer Stelle p ∈ P stetig ist, so können wir eine der beiden folgenden äquivalenten Methoden verwenden:
Nachweis der Epsilon-Delta-Stetigkeit an einer Stelle p
Wir müssen zeigen:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P (|x − p| < δ → |f (x) − f (p)| < ε).
Hierzu betrachten wir ein beliebiges ε > 0. Nun ist es unsere Aufgabe, ein geeignetes δ > 0 (in Abhängigkeit von ε) zu definieren, sodass f im ε-δ-Rechteck bei (p, f (p)) verläuft.
Nachweis der Folgenstetigkeit an einer Stelle p
Wir müssen zeigen:
Für jede Folge (xn)n ∈ ℕ in P mit limn xn = p gilt limn f (xn) = f (p).
Hierzu betrachten wir eine beliebige Folge (xn)n ∈ ℕ in P mit limn xn = p. Für diese Folge müssen wir nun zeigen:
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |f (xn) − f (p)| < ε.
Zum Nachweis dieser Aussage betrachten wir ein beliebiges ε > 0. Nun müssen wir ein geeignetes n0 finden (in Abhängigkeit von ε), sodass alle Werte f (xn) für alle n ≥ n0 im Intervall ] f (p) − ε, f (p) + ε [ liegen.
Entsprechend verlaufen Nachweise der Unstetigkeit:
Nachweis der Epsilon-Delta-Unstetigkeit an einer Stelle p
Wir müssen zeigen:
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ P (|x − p| < δ ∧ |f (x) − f (p)| ≥ ε).
Wir müssen also ein geeignetes ε > 0 definieren, so dass f für ein beliebig kleines δ > 0 nicht im ε-δ-Rechteck bei (p, f (p)) verläuft. Dass also f jedes derartige Rechteck an mindestens einer Stelle x ∈ ] p - δ, p + δ [ an seinem Rand berührt oder verlässt.
Nachweis der Folgenunstetigkeit an einer Stelle p
Wir müssen zeigen:
Es gibt eine Folge (xn)n ∈ ℕ in P mit limn xn = p und limn f (xn) ≠ f (p).
Zum Beweis dieser Aussage müssen wir eine gegen p konvergente Folge (xn)n ∈ ℕ in P konstruieren derart, dass die Folge (f (xn))n ∈ ℕ entweder divergiert oder aber gegen ein a konvergiert mit a ≠ f (p).