Übungen

Übung 1

Erläutern Sie den Verlauf einer Funktion in einem ε-δ-Rechteck und die ε-δ-Stetigkeit durch Diagramme. Achten Sie bei der Stetigkeit besonders auf die Abhängigkeitsverhältnisse zwischen ε und δ.

Übung 2

Betrachten Sie zwei waagrechte Achsen (Kopien des reellen Zahlenstrahls). Eine Funktion f : ℝ → ℝ können wir als Abbildung der Punkte der ersten Achse auf Punkte der zweiten Achse auffassen.

(a)	Illustrieren Sie diese Interpretation einer Funktion durch Diagramme anhand einfacher Beispiele.

(b)	Erläutern Sie die ε-δ-Stetigkeit einer beliebigen Funktion f : ℝ → ℝ an einer Stelle p anhand dieser Interpretation.

Übung 3

Die Stetigkeit hatten wir anschaulich formuliert durch:

Die Funktionswerte ändern sich wenig,

wenn sich die Stelle hinreichend wenig ändert.

Erläutern Sie die Bedeutung des Wortes „hinreichend“ in dieser Formulierung.

Übung 4

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Die ε-δ-Stetigkeit von f an der Stelle p lautet:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x  ∈  P (|x − p| < δ → |f (x) − f (p)| < ε).

(a)	Welche Bedeutung hat die Aussage ∃δ > 0 ∀ε > 0 ∀x  ∈  P (\|x − p\| < δ → \|f (x) − f (p)\| < ε), bei der die Quantoren über ε und δ vertauscht sind?

(b)	Welche Bedeutung hat die Aussage ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∀x  ∈  P (\|x − p\| < δ → \|f (x) − f (p)\| < ε), bei der die Quantoren über ε und δ verwechselt sind?

(c)	Welche Bedeutung hat die Aussage ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∃x  ∈  P (\|x − p\| < δ → \|f (x) − f (p)\| < ε), bei der der letzte Allquantor zu einem Existenzquantor geworden ist?

Übung 5

Sei f : ℝ → ℝ mit f (x) = x² für alle x  ∈  ℝ. Zeigen Sie sowohl mit Hilfe der ε-δ-Stetigkeit als auch mit Hilfe der Folgenstetigkeit, dass f stetig ist.

Übung 6

Weisen Sie sowohl mit Hilfe der ε-δ-Stetigkeit als auch mit Hilfe der Folgenstetigkeit nach, dass die Vorzeichenfunktion sgn : ℝ → ℝ unstetig im Nullpunkt ist. Zeichnen Sie Diagramme zur Illustration Ihrer Beweise.

Übung 7

Wir betrachten die Funktion f : ℝ → ℝ mit

$f (x) = { \begin{matrix} sin (1 / x) & falls x \neq 0 \\ 0 & sonst. \end{matrix}$

(a)	Bestimmen Sie die Nullstellen und lokalen Extrema von f.

(b)	Weisen Sie sowohl mit Hilfe der ε-δ-Stetigkeit als auch mit Hilfe der Folgenstetigkeit nach, dass die Funktion f im Nullpunkt unstetig ist.

Übung 8

Zeigen Sie mit Hilfe der Folgenstetigkeit und der Limesregeln für Folgen, dass f + g, cf für c  ∈  ℝ, f · g und f/g stetige Funktionen sind, wenn f und g stetig sind. Folgern Sie hieraus die Stetigkeit aller Polynome und rationalen Funktionen unter Verwendung der Stetigkeit der Identität.

Übung 9

Zeigen Sie, dass die Verknüpfung g ∘ f zweier stetiger und miteinander verknüpfbarer Funktionen f und g stetig ist.

Übung 10

Sei f : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Zeigen Sie, dass f stetig an der Stelle p ist.